Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Angoli esterni di un triangolo
Prendiamo il modello di triangolo costruito con tre striscioline in cartone e disponiamolo in modo che un lato sia perfettamente orizzontale.
Sul vertice opposto, del lato orizzontale, fissiamo un filo a piombo (è un filo con un peso legato a una estremità). Questo si disporrà, rispetto al lato orizzontale, in posizione verticale. In altre parole, il filo a piombo, indicherà la distanza minima tra il vertice e il lato opposto. Questa distanza che è il segmento di perpendicolarità condotto da un vertice al lato opposto (o, più in generale, alla retta che contiene il lato opposto), si chiama altezza del triangolo.
Ad esempio, nel triangolo ABC il segmento BH è l'altezza del triangolo relativa al lato AC.
Il lato rispetto al quale si traccia l'altezza, è generalmente chiamato base e il punto di intersezione tra la base (o la retta che contiena la base) e l'altezza a esso relativa è detto piede dell'altezza.
Spostando orizzontalmente il vertice B del triangolo ABC ci accorgiamo che l'altezza BH relativa al lato AC può essere interna se il triangolo è acutangolo, coincidente con un lato se il triangolo è rettangolo o esterna se il triangolo è ottusangolo.
Poichè un triangolo ha tre lati, ogni triangolo ha tre altezze una relativa ad ogni lato. Se disegniamo i tre tipi di triangoli (acutangolo, rettangolo e ottusangolo) e per ognuno, con la riga e la squadra, tracciamo le tre altezze possiamo scoprire che:
nei triangoli acutangoli le tre altezze sono interne al triangolo
nei triangoli rettangoli due altezze coincidono con i lati e una, quella condotta dall'angolo retto, è interna al triangolo
nei triangoli ottusangoli un'altezza, quella condotta dal vertice dell'angolo ottuso, è interna mentre le altre due sono esterne e cadono sul prolungamento dei rispettivi lati
Scopriremo anche una proprietà fondamentale delle altezze di un triangolo:
In ogni triangolo le tre altezze, o i loro prolungamenti, si incontrano in un punto detto ortocentro del triangolo.
Attenzione! Questa proprietà non è ovvia perchè non è detto che tre rette si incontrino nello stesso punto. Se spostiamo ancora orizzontalmente il vertice B del triangolo ABC possiamo osservare che l'ortocentro non è sempre interno al triangolo e precisamente è:
interno nei triangoli acutangoli
coincidente con il vertice dell'angolo retto nei triangoli rettangoli
esterno nei triangoli ottusangoli
