Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Uguaglianza di triangoli
Come è possibile stabilire se due triangoli sono uguali (o congruenti)? La risposta più ovvia è: sovrapponiamo i due triangoli e vediamo se tutti i punti di un triangolo coincidono con tutti i punti dell'altro. Possiamo, anche più semplicemente, controllare se i lati e gli angoli di un triangolo coincidono con i lati e gli angoli dell'altro triangolo.
Per sovrapporre i due triangoli siamo liberi di effettuare qualsiasi movimento, purchè le figure non siano deformate. Ad esempio per sovrapporre i due triangoli sono stati effettuati tre movimenti: una rotazione, un ribaltamento e una traslazione.
Questo metodo non è molto agevole perchè presuppone che almeno uno dei due triangoli sia un'oggetto concreto, ad esempio un triangolo di cartoncino ritagliato o un ricalco del triangolo su un foglio trasparente, che possiamo poi muovere facilmente sul piano per vedere se è la copia perfetta dell'altro triangolo. Per decidere se due triangoli sono o non sono congruenti, c'è un procedimento più semplice che ci evita il ricorso alla sovrapposizione? Sí, basta misurare i lati e gli angoli dei due triangoli e verificare se sono rispettivamente congruenti, (i lati congruenti e gli angoli congruenti si dicono corrispondenti od omologhi). Ad esempio, i triangoli ABC e DEF sono congruenti perchè i lati e gli angoli dell'uno sono congruenti ai lati e agli angoli dell'altro.
Ma, per stabilire se due triangoli sono congruenti, è proprio necessario verificare tutte le sei uguaglianze? No, sono state scoperte delle regole che consentono di stabilire la congruenza di due triangoli verificando solo tre opportune uguaglianze. Queste regole vengono chiamate criteri di uguaglianza o di congruenza dei triangoli. Come vedremo, più avanti, i criteri di congruenza sono strettamente collegati ad un altro problema; quello della costruibilità di un unico triangolo conoscendo solo tre opportuni suoi elementi. Infatti, se con questi tre opportuni elementi possiamo costruire un unico triangolo allora tutti i triangoli che hanno congruenti questi tre elementi devono essere necessariamente congruenti. In altre parole se costruiamo un modello di triangolo fissando questi tre elementi allora tale modello dovrà essere necessariamente rigido perchè rappresenterà un unico triangolo.
