Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Primo criterio di uguaglianza
Con il modello di triangolo, costruito con due listelli rigidi e un elastico, abbiamo visto più volte che possiamo rappresentare una famiglia di triangoli. Questi triangoli sono tutti diversi fra loro. Infatti, variando l'ampiezza dell'angolo compreso fra i due listelli varia corrispondentemente anche la lunghezza dell'elastico che rappresenta il terzo lato del triangolo.
Cosa succede se fissiamo l'angolo compreso fra i due listelli?
Non è più possibile far ruotare uno dei due listelli e quindi il modello non è più articolabile è cioè rigido. Prima, quando l'angolo compreso fra i due listelli non era fissato, il modello rappresentava una famiglia di triangoli, ora rappresenta un unico triangolo. In altre parole se fissiamo due listelli e l'angolo compreso fra essi possiamo costruire un unico triangolo. Abbiamo cosí scoperto il primo criterio di uguaglianza:
Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo compreso congruenti.
Ad esempio i due triangoli ABC e DEF sono congruenti avendo due lati e l'angolo fra essi compreso uguali.
Con due lati e l'angolo compreso possiamo, dunque, costruire un solo triangolo; che cosa succede, invece, se fissiamo due lati e l'angolo non compreso fra i due lati? In altre parole, se due triangoli hanno congruenti due lati e l'angolo non compreso sono necessariamente congruenti? Costruiamo allora, un modello di triangolo avente fissi due lati (AB e BC) e un angolo non compreso fra i due lati (quello in A) e vediamo se esso rappresenta un unico triangolo.
Come possiamo vedere il modello rappresenta due triangoli non congruenti anche se hanno rispettivamente uguali due lati e un angolo non compreso. Questi due triangoli sono generati dalla rotazione del lato BC attorno al vertice B.
Esiste, però, un caso particolare. Se l'angolo non compreso è di 90°, allora la rotazione del lato BC attorno al vertice B genera due triangoli rettangoli simmetrici e quindi congruenti.
Abbiamo cosí scoperto che con l'ipotenusa e un cateto si può costruire un solo triangolo rettangolo.
