Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Se consideriamo la lunghezza dei lati di un triangolo possiamo verificare che sono possibili solo tre casi:
Tutti e tre i lati sono congruenti; il triangolo si dice equilatero.
Almeno due lati sono congruenti; il triangolo si dice isoscele.
Tutti e tre i lati sono disuguali; il triangolo si dice scaleno.
Ora riflettiamo:
Un triangolo scaleno non può essere isoscele o equilatero.
Un triangolo equilatero è anche isoscele, ma non sempre è vero il contrario.
Per vedere che un triangolo equilatero è un particolare triangolo isoscele consideriamo un modello di triangolo isoscele articolabile in cui è possibile far variare l'angolo compreso tra i due lati congruenti.
Questo modello è stato costruito con due asticciole uguali forate ai due estremi, un fermocampione e un elastico.
Al variare dell'angolo compreso tra i due lati congruenti varia anche la lunghezza del terzo lato. Osservando i vari triangoli isosceli, ottenibili con questo modello, ci accorgiamo che esiste un'unica sitiazione in cui tutti e tre i lati sono congruenti: è il momento in cui il triangolo isoscele diventa anche equilatero. Il triangolo equilatero è quindi un triangolo isoscele particolare.
Pertanto possiamo raggruppare i triangoli, rispetto ai lati, in due "famiglie" (o in due insiemi): quella dei triangoli scaleni e quella dei triangoli isosceli. Queste due famiglie sono disgiunte, cioè non hanno elementi in comune. Inoltre, i triangoli equilateri sono inclusi nell'insieme dei triangoli isosceli e costituiscono un sottoinsieme di questa famiglia. Possiamo rappresentare graficamente questa classificazione dei triangoli, rispetto ai lati, con il seguente diagramma di Venn in cui ogni insieme è indicato con una parte di piano limitata da una linea chiusa.
