Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Teorema di Ceva
In un triangolo, un qualunque segmento che unisce un vertice con un punto del lato opposto è detto segmento ceviano in onore al matematico Giovanni Ceva (1647-1734). Pertanto le mediane e le bisettrici di un triangolo sono particolari segmenti ceviani, anche le altezze di un triangolo acutangolo sono segmenti ceviani. Ora, se consideriamo un triangolo ABC e tracciamo tre segmenti ceviani e questi concorrono in uno stesso punto G
allora il teorema di Ceva afferma che vale la relazione:
Questo teorema si basa su una semplice proprietà: le aree di triangoli con altezze congruenti sono proporzionali alle rispettive basi.
Nel nostro caso se consideriamo la figura:
I triangoli AEC e EBC hanno la stessa altezza e quindi sono proporzionali alle rispettive basi AE e EB. Anche i triangoli AEG e EBC hanno la stessa altezza e quindi sono proporzionali alle rispettive basi AE e EB. Possiamo allora scrivere:
Da questa relazione segue la relazione:
Con gli stessi ragionamenti sui lati BC e CA si ottiene:
Moltiplicando i tre rapporti a primo membro di ciascuna delle tre relazioni si ha:
Dal teorema di Ceva segue che le mediane di un triangolo sono concorrenti in un punto (che è il baricentro). Infatti, è facile verificare che il prodotto è uguale ad 1 se
AE = EB, BF = FC e CD = DA.
Inoltre, segue anche che le mediane di un triangolo suddividono il triangolo in 6 triangoli più piccoli di ugual area.
