Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Somma degli angoli interni di un triangolo
A questo punto viene spontaneo porsi due domande:
Quanto misura la somma degli angoli interni di un triangolo?
Il suo valore dipende dalla forma del triangolo o è costante?
Consideriamo il seguente modello costituito da una tavoletta di legno, due chiodi, un elastico e un filo di spago.
Tirando il filo verticalmente si ottiene la famiglia dei triangoli isosceli con la base AB fissa e il vertice C variabile.
Osserviamo che più il vertice C si allontana dalla base AB, più l'angolo in C diventa piccolo e più gli angoli in A e in B diventano grandi. Questo vuol dire che in un triangolo se un angolo diminuisce gli altri due aumentano e viceversa. Esiste, quindi una relazione tra i tre angoli del triangolo. Questa relazione può essere intuita esaminando i due casi limite:
Avviciniamo sempre più il vertice C sul lato AB. Il triangolo si schiaccia, gli angoli in A e in B tendono a 0 gradi e l'angolo in C tende a un angolo piatto.
Allontaniamo sempre più il vertice C dal lato AB. Il triangolo si allunga, gli angoli in A e in B tendono a diventare retti e l'angolo in C tende a 0°.
In entrambi i casi la somma dei tre angoli tende a un angolo piatto. Questi due casi limiti ci fanno ritenere che la somma degli angoli di un triangolo sia uguale a un angolo piatto. Per essere sicuri di ciò facciamo un altro esperimento.
Disegniamo, su un foglio di carta, un triangolo qualsiasi e poi ritagliamolo.
Ora, pieghiamo il nostro modello di triangolo in modo che il vertice B tocchi il lato opposto AC. Poi pieghiamo ancora il triangolo in modo da accostare, lungo il lato AC, il vertice A al vertice B. Infine, ripetiamo la stessa operazione con il vertice C. Accostando i tre vertici abbiamo disposto a due a due consecutivamente i tre angoli del triangolo. Che cosa costatiamo?
La somma dei tre angoli è uguale a un angolo piatto, cioè è uguale a 180°.
Verifichiamo infine se questo valore della somma degli angoli interni sia costante per tutti i triangoli.
Questo modello mostra la famiglia dei triangoli ABC che hanno la stessa base AC e il vertice B posto su una retta parallela alla base. Osserviamo che gli angoli indicati con lo stesso colore sono angoli alterni interni di due rette parallele tagliate da una trasversale e quindi sono angoli congruenti. Nel vertice B sono allora accostati consecutivamente a due a due i tre angoli dei triangoli ABC. Come vediamo la somma dei tre angoli di tutti questi triangoli è sempre di 180° indipendentemente dal tipo di triangolo.
Abbiamo cosí scoperto un'importante proprietà dei triangoli:
La somma delle misure degli angoli di un triangolo è sempre di 180 gradi.
Da questa proprietà si deduce che:
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali anche i rimanenti angoli sono uguali.
