Cosa devi sapere sui triangoli

Somma degli angoli interni di un triangolo

A questo punto viene spontaneo porsi due domande:

• Quanto misura la somma degli angoli interni di un triangolo?
• Il suo valore dipende dalla forma del triangolo o è costante?

Consideriamo il seguente modello costituito da una tavoletta di legno, due chiodi, un elastico e un filo di spago.

Tirando il filo verticalmente si ottiene la famiglia dei triangoli isosceli con la base AB fissa e il vertice C variabile.

Osserviamo che più il vertice C si allontana dalla base AB, più l'angolo in C diventa piccolo e più gli angoli in A e in B diventano grandi. Questo vuol dire che in un triangolo se un angolo diminuisce gli altri due aumentano e viceversa. Esiste, quindi una relazione tra i tre angoli del triangolo. Questa relazione può essere intuita esaminando i due casi limite:

• Avviciniamo sempre più il vertice C sul lato AB. Il triangolo si schiaccia, gli angoli in A e in B tendono a 0 gradi e l'angolo in C tende a un angolo piatto.

  

• Allontaniamo sempre più il vertice C dal lato AB. Il triangolo si allunga, gli angoli in A e in B tendono a diventare retti e l'angolo in C tende a 0°.

  

In entrambi i casi la somma dei tre angoli tende a un angolo piatto. Questi due casi limiti ci fanno ritenere che la somma degli angoli di un triangolo sia uguale a un angolo piatto. Per essere sicuri di ciò facciamo un altro esperimento.

Disegniamo, su un foglio di carta, un triangolo qualsiasi e poi ritagliamolo.

Ora, pieghiamo il nostro modello di triangolo in modo che il vertice B tocchi il lato opposto AC. Poi pieghiamo ancora il triangolo in modo da accostare, lungo il lato AC, il vertice A al vertice B. Infine, ripetiamo la stessa operazione con il vertice C. Accostando i tre vertici abbiamo disposto a due a due consecutivamente i tre angoli del triangolo. Che cosa costatiamo?

La somma dei tre angoli è uguale a un angolo piatto, cioè è uguale a 180°.

Verifichiamo infine se questo valore della somma degli angoli interni sia costante per tutti i triangoli.

Questo modello mostra la famiglia dei triangoli ABC che hanno la stessa base AC e il vertice B posto su una retta parallela alla base. Osserviamo che gli angoli indicati con lo stesso colore sono angoli alterni interni di due rette parallele tagliate da una trasversale e quindi sono angoli congruenti. Nel vertice B sono allora accostati consecutivamente a due a due i tre angoli dei triangoli ABC. Come vediamo la somma dei tre angoli di tutti questi triangoli è sempre di 180° indipendentemente dal tipo di triangolo.

Abbiamo cosí scoperto un'importante proprietà dei triangoli:

La somma delle misure degli angoli di un triangolo è sempre di 180 gradi.

Da questa proprietà si deduce che:

Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali anche i rimanenti angoli sono uguali.