Indice
Introduzione
La condizione di esistenza del triangolo
La struttura triangolare è indeformabile
Tracciamo un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Somma degli angoli interni di un triangolo
Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Classificazione generale dei triangoli
Angoli esterni di un triangolo
Le altezze di un triangolo
Le mediane di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo
Assi di un triangolo
Punti notevoli di un triangolo
I triangoli e la simmetria assiale
La simmetria rotazionale del triangolo equilatero
Il triangolo rettangolo e le sue proprietà
Uguaglianza di triangoli
Primo criterio di uguaglianza
Secondo criterio di uguaglianza
Terzo criterio di uguaglianza
Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Triangoli equivalenti
Area di un triangolo
Teorema di Pick
Triangoli equivalenti per scorrimento
Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Equivalenza di un trapezio e di un triangolo
Somma di triangoli di uguale altezza
Equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
Equivalenza di un poligono circoscritto e di un triangolo
Equivalenza tra un cerchio e un triangolo
Triangolo equivalente a un triangolo con data altezza
Da un poligono a un rettangolo equivalente
Triangoli isoperimetrici
Il perimetro dei triangoli equivalenti
Proprietà duali
Perimetro e area
Massimo e minimo
Circonferenze inscritte e circoscritte nei triangoli
Triangoli simili
Primo criterio di similitudine
Secondo criterio di similitudine
Terzo criterio di similitudine
Proprietà dei triangoli simili
Triangoli omotetici
Triangoli simili in un triangolo rettangolo
Primo teorema di Euclide
Secondo teorema di Euclide
Teorema di Pitagora
Estensione del teorema di Pitagora
Triangoli particolari
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Triangolo aureo
Triangolo di Sierpinski
Triangoli Eroniani
Teorema di Ceva
Il cerchio dei nove punti
Teorema di Napoleone Bonaparte
Teorema di Morley
Excentro
Teorema di Pick
Esiste un modo curioso per calcolare l'area di un triangolo, ma anche di un qualsiasi poligono, scoperto dal matematico austriaco Georg Pick (1859-1942). Disegniamo su un foglio quadrettato il triangolo ABC con i tre vertici sui nodi (o vertici) dei quadretti. L'area del triangolo è:
A = 10 x 4 : 2 = 20 quadretti
Coloriamo in azzurro, i nodi dellla quadrettatura che sono sul contorno del triangolo, e in verde i nodi che sono all'interno del contorno del triangolo.
Aggiungiamo al numero dei nodi verdi la metà del numero dei nodi azzurri e al risultato togliamo 1. Cosa otteniamo?
15 + 12 : 2 - 1 = 20
Un numero uguale al valore dell'area del triangolo. E' soltanto una coincidenza? Disegniamo un triangolo rettangolo sempre di area 20 quadratini. Questa volta i nodi che sono sul contorno del triangolo sono 16 mentre i nodi interni sono 13.
I due numeri sono cambiati perchè è cambiata anche la forma del triangolo, eppure, se aggiungiamo al numero dei nodi verdi la metà del numero dei nodi azzurri e al risultato togliamo 1 otteniamo ancora 20.
13 + 16 : 2 - 1 = 20
Consideriamo altri due triangoli ottenuti con un elastico teso fra i chiodi di un geopiano. Un geopiano è una tavoletta di legno quadrata su cui sono infissi, a intervalli regolari, chiodi sporgenti, che delineano sulla tavola un reticolo quadrato.
Il triangolo ottusangolo ha l'area di 12 quadretti, il suo contorno tocca 14 chiodi e racchiude 6 chiodi. E come possiamo verificare si ha:
6 + 14 : 2 - 1 = 12
Il triangolo acutangolo ha l'area di 10,5 quadretti, il suo contorno tocca 11 chiodi e racchiude 6 chiodi. Applicando la solita regola:
6 + 11 : 2 - 1 = 10,5
otteniamo lo stesso valore dell'area del triangolo. E' evidente che tra l'area del triangolo, il numero C dei nodi sul contorno e il numero I dei nodi interni, esiste la seguente relazione scoperta da Pick:
A = I + C : 2 - 1
