Cosa devi sapere sui triangoli

I triangoli e la simmetria assiale

Consideriamo il modello di carta del triangolo isoscele ABC e pieghiamolo in modo da sovrapporre i due lati uguali AB e BC. Cosa osserviamo? La traccia della piegatura divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli che si sovrappongono perfettamente.

Con uno spillo buchiamo il triangolo isoscele quando è piegato e poi riapriamolo. Cosa osserviamo? Due fori, uno a sinistra e l'altro a destra della piegatura. Possiamo anche vedere che i due fori sono simmetrici, cioè equidistanti dalla piegatura.

Da ciò si intuisce che ogni punto del triangolo rettangolo a sinistra della piegatura ha nell'altro triangolo rettangolo un punto (ed uno solo) corrispondente equamente distante dalla piegatura. Abbiamo cosí scoperto che il triangolo isoscele ABC è formato da due triangoli rettangoli simmetrici rispetto alla retta che passa per il vertice e il punto medio della base. Questa retta rappresenta l'asse di simmetria del triangolo isoscele. Cosa succede se ribaltiamo il triangolo isoscele rispetto al suo asse di simmetria? Il triangolo ritorna su se stesso, torna cioè ad occupare esattamente la stessa posizione.

Vediamo come possiamo provarlo. Incolliamo, al nostro modello, uno stecchino in modo da farlo coincidere con l'asse di simmetria del triangolo isoscele. Poi ribaltiamo il triangolo rispetto al suo asse di simmetria, cioè ruotiamo lo stecchino di 180°. Il triangolo ritorna su se stesso. Naturalmente, dopo il ribaltamento, i vertici A e C che sono da parte opposte rispetto all'asse si scambiano di posto, mentre il vertice B che è sull'asse di simmetria non cambia la sua posizione. Se riflettiamo, ci accorgiamo che con il ribaltamento tutti i punti del triangolo cambiano posizione, tranne quelli che si trovano sulla retta di ribaltamento.

Ora, chiediamoci: il triangolo isoscele ha altri assi di simmetria? Se pieghiamo, il nostro modellino di carta del triangolo isoscele, sia lungo l'asse di un lato obliquo sia lungo la mediana relativa a un lato obliquo, vediamo che il triangolo non resta diviso in due parti uguali.

piegatura rispetto all'asse del lato	piegatura rispetto alla mediana del lato

Per quanti tentativi facciamo non riusciremo mai a trovare un altro asse di simmetria. Il triangolo isoscele ha quindi un solo asse di simmetria. Questo risultato poteva essere previsto con un ragionamento? Sí, bastava ricordarsi che in un triangolo isoscele non equilatero, l'angolo alla base non è congruente all'angolo al vertice e quindi i lati corrispondenti di questi due angoli non possono combaciare con un ribaltamento rispetto a una retta. Da questo ragionamento si capisce che un triangolo equilatero, avendo tre lati e tre angoli congruenti, possiede tre assi di simmetria. Possiamo, cioè, piegare un modello di carta di un triangolo equilatero in tre modi diversi per dividerlo in due parti uguali e simmetricamente disposte rispetto a una retta.

i tre assi di simmetria	le tre piegature del modello

Poniamoci la domanda: un triangolo scaleno possiede un asse di simmetria? Possiamo facilmente rispondere a questa domanda senza dover ricorrere al solito modellino di carta. No, perchè il triangolo scaleno avendo tre lati e tre angoli diversi non può essere diviso in due parti che si sovrappongono perfettamente. In conclusione:

Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria, un triangolo isoscele ha un solo asse di simmetria e un triangolo scaleno non ha assi di simmetria.

Osservate che un triangolo possiede una simmetria assiale se presenta delle regolarità, cioè se ha lati e angoli congruenti, inoltre più è "regolare" il triangolo, più assi di simmetria ha.