Teorema di Pitagora

Dimostrazione di Perigal

Herry Perigal (1801-1898) non era un matematico di professione, ma un agente di cambio inglese che scoprí una bella e semplice dimostrazione del teorema di Pitagora basata sulla scomposizione in quattro parti uguali del quadrato costruito sul cateto maggiore. Perigal fu molto orgoglioso di questa sua scoperta tanto da farsela stampare sui biglietti da visita e sulla sua lapide.
Tracciando due segmenti, l'uno parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa e passanti entrambi per il centro del quadrato del cateto maggiore si divide quest'ultimo in quattro quadrilateri congruenti (si può facilmente dimostrare che i quattro quadrilateri hanno lati e angoli corrispondenti uguali). Con questi quattro quadrilateri e con il quadrato costruito sul cateto minore, si ricopre esattamente senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti il quadrato dell'ipotenusa.

Nella dimostrazione si mostra che i quattro quadrilateri congruenti che suddividono il quadrato sul cateto minore sono anche congruenti ai quattro quadrilateri nel quadrato costruito sull'ipotenusa e la differenza fra due lati di ciascun quadrilatero è uguale al lato del quadrato costruito sul cateto minore.

Ecco la dimostrazione animata:

Caso particolare in cui il triangolo rettangolo è isoscele.

Caso particolare in cui un cateto è il doppio dell'alto.

Vediamo alcune variazioni della dimostrazione di Perigal:

Tracciando due segmenti, l'uno parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa e passanti per gli estremi del cateto maggiore si divide il quadrato costruito sul cateto maggiore in quattro parti. Con queste quattro parti e con il quadrato costruito sul cateto minore, si ricopre esattamente senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti il quadrato dell'ipotenusa.

Tracciando due segmenti, l'uno parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa e passanti entrambi per il centro del quadrato del cateto maggiore e le diagonali del quadrato del cateto maggiore. Con queste otto parti e con il quadrato costruito sul cateto minore, si ricopre esattamente senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti il quadrato dell'ipotenusa.

Tracciando due segmenti, l'uno parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa e passanti entrambi per il centro del quadrato del cateto maggiore e altri due segmenti perpendicolari passanti per il centro del quadrato del cateto maggiore. Con queste otto parti e con il quadrato costruito sul cateto minore, si ricopre esattamente senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti il quadrato dell'ipotenusa.

Tracciando le due mediane del quadrato del cateto maggiore, quattro triangoli congruenti e quattro quadrilateri congruenti. Con queste otto parti e con il quadrato costruito sul cateeto minore, si ricopre esattamente senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti il quadrato dell'ipotenusa.

Tracciando le due mediane del quadrato del cateto maggiore, otto triangoli congruenti e quattro quadrilateri congruenti. Con queste dodici parti e con il quadrato costruito sul cateeto minore, si ricopre esattamente senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti il quadrato dell'ipotenusa.