Teorema di Pitagora

Una ulteriore estensione

Sui tre lati di un triangolo rettangolo costruiamo i relativi quadrati. Dividiamo poi ogni quadrato a metà. Il rettangolo sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei rettangoli sui cateti?

Sí perchè si ha:

E questa relazione, come sappiamo, è equivalente a quella pitagorica.

Se, invece di dimezzare, raddoppiassimo le aree dei quadrati si otterrà ancora che il rettangolo sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei rettangoli sui cateti?

Sí perchè si ha:

2c² = 2a² + 2b²

A questo punto dovrebbe essere chiaro che la proprietà pitagorica continua a valere se sui lati del triangolo rettangolo si costruiscono dei rettangoli che hanno un lato che è un multiplo oppure un sottomultiplo del lato del quadrato. Come possiamo generalizzare questa proprietà? Esaminiamo il primo caso. Cosa hanno in comune i tre rettangoli che sono la metà dei quadrati? Hanno tutti e tre la stessa forma, cioè sono simili. Infatti, il rapporto tra le due dimensioni è costante (è uguale a 1/2) e gli angoli corrispondenti sono uguali (tutti gli angoli sono di 90°).

Come si vede in questa animazione di rettangoli simili costruiti sui lati del triangolo rettangolo.

Possiamo quindi dire che la proprietà pitagorica vale anche quando sui lati di un triangolo rettangolo sono costruiti dei rettangoli simili. Con lo stesso ragionamento possiamo passare dai quadrati ai triangoli simili.

Come si vede in questa animazione di triangoli simili costruiti sui lati del triangolo rettangolo.

Oppure dai quadrati ai poligoni simili.

Come si vede in questa animazione di poligoni simili costruiti sui lati del triangolo rettangolo.

Non è difficile intuire che vale la relazione pitagorica qualunque sia il tipo di poligono o figura che si costruisce sui lati del triangolo rettangolo, purchè si tratti di figure fra loro simili. Ad esempio, tutti i cerchi sono simili e quindi se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo tre cerchi aventi per diametro i lati del triangolo si ha che quello sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei cerchi sui cateti e cioè vale ancora la proprietà pitagorica.

E naturalmente la proprietà pitagorica continua a valere anche per i semicerchi aventi per diametro sempre i lati del triangolo rettangolo.

E vale anche per tutte quelle figure che si possono realizzare con gli archi di circonferenza come si vede in figura.

Possiamo quindi generalizzare l'enunciato del teorema di Pitagora in questo modo:

L'area di un poligono costruito sull'ipotenusa è la somma delle aree dei poligoni ad esso simili, costruoti sui cateti e disposti in modo che lati omologhi dei tre poligoni sia rispettivamente sull'ipotenusa e sui cateti.