Teorema di Pitagora

Proprietà delle terne pitagoriche

Le terne pitagoriche primitive

sono state per molto tempo oggetto di studio e ciò ha permesso di scoprire interessanti proprietà.

• b = 2mn è sempre un multiplo di 4.
  
  Essendo m e n di parità opposta il loro prodotto è sempre pari e il doppio di un numero pari è un multiplo di 4. Pertanto non esiste una terna pitagorica formata da tre numeri primi.

• a = m² - n² e c = m² + n² sono sempre dispari.
  
  Essendo m e n di parità opposta anche m² e n² hanno parità opposta e la somma o la differenza di due numeri con parità opposta è sempre un numero dispari. Pertanto la somma (a + b + c) è sempre un numero pari.

• La differenza c - b è sempre il quadrato di un numero dispari.
  
  Infatti:

  c - b = m² + n² . 2mn = (m - n)²

  E come sappiamo (m - n) è un numero dispari. Pertanto la differenza (c - b), può assumere solo i seguenti valori:

  1, 9, 25, 49, 81, 121, ...

  Per ognuno di questi valori esistono inoltre, infinite terne pitagoriche primitive. Ad esempio:

  • Per (c - b) = 1
    
    esistono infinite coppie m, n con parità opposta e primi fra loro tali che (m - n)² = 1 e ognuna di queste coppie genera una terna pitagorica primitiva.

    

    Se, in un piano cartesiano, riportiamo sull'asse delle x, i valori di a, e sull'asse delle y, i corrispondenti valori di b, le coppie ordinate (a, b) individuano un insieme di punti che si trovano su una parabola.

    

    E' evidente allora che in questo sottoinsieme di terne pitagoriche esiste una relazione quadratica tra i valori di a e di b. Vediamo come è possibile determinarla. Partiamo dall'equazione pitagorica:

    c² = a² + b²

    Che possiamo scrivere anche sotto questa forma.

    c² - b² = a²

    Mettiamo il primo termine come prodotto di due fattori.

    (c + b)(c - b) = a²

    Dividiamo entrambi i membri per (c - b).

    

    Ora, sappiamo che (c - b) è uguale a 1 e c = b + 1, sostituendo si ha:

    b + 1 + b = a²

    Cioè

    

    Questa è la relazione quadratica esistente tra i due cateti ed è l'equazione di una parabola simmetrica rispetto all'asse delle y con la concavità verso l'alto e il vertice nel punto (0, -1/2). Questa parabola ha una proprietà particolare: la distanza tra un punto della parabola e l'origine degli assi è sempre uguale all'ordinata del punto più una unità. In altre parole, se il punto A(x, y) appartiene alla parabola allora la distanza di A da O è (y + 1). L'equazione di questa parabola permette di ottenere tutte le terne pitagoriche primitive che hanno, come valore di a, un numero dispari maggiore di 2 e come valore di c quello di b più 1 (c = b + 1).

  • Per (c - b) = 9
    
    esistono infinite coppie m, n con parità opposta e primi fra loro tali che (m - n)² = 9 e ognuna di queste coppie genera una terna pitagorica primitiva.

    

    Naturalmente, anche per questo sottoinsieme di terne pitagoriche, esiste una relazione quadratica tra i cateti che può essere determinata con lo stesso ragionamento fatto precedentemente:

    

  In generale per ogni sottoinsieme di terne pitagoriche in cui è costante la differenza tra c e b esiste una relazione quadratica tra b e a. Nei nostri sottoinsiemi essendo la differenza (c - b) = (m - n)² la relazione tra b e a è:

  

  Essendo (m - n) un numero dispari del tipo (2k - 1), dove k è un numero naturale, la relazione tra b e a diventa:

  

  Questa relazione rappresenta una famiglia di parabole simmetriche rispetto all'asse delle y con la concavità verso l'alto e vertice nel punto

  

• La somma c + b è sempre il quadrato di un numero dispari.
  
  Infatti:

  c + b = m² + n² + 2mn = (m + n)²

  E come sappiamo (m + n) è un numero dispari.

• La differenza c - a è sempre il doppio di un numero quadrato.
  
  Infatti:

  c - a = m² + n² - (m² - n²) = 2n²

  Pertanto la differenza c - a può assumere solo i seguenti valori:

  2, 8, 18, 32, 50, 72, ...

  Per ognuno di questi valori esistono inoltre, infinite terne pitagoriche primitive. Ad esempio:

  • Per (c - a) = 2
    
    Esistono infinite coppie m, n con parità opposta e primi fra loro tali che (m² + n²) - (m² - n²) = 2 e ognuna di queste coppie genera una terna pitagorica primitiva.

    

    dove x è un numero intero uguale o maggiore di zero. Se in un piano cartesiano riportiamo sull'asse delle x i valori di b e sull'asse delle y i corrispondenti valori di a le coppie ordinate (b, a) individuano un insieme di punti che si trovano su una parabola.

    

    Vediamo come è possibile determinare l'equazione di questa parabola. Partiamo dall'equazione:

    (c + a)(c - a) = b²

    dividiamo entrambi i membri per (c - a).

    

    Essendo (c - a) = 2n² e c - a + 2n², sostituendo si ha:

    

    Cioè

    

    Questa è l'equazione generica che lega a e b nel nostro caso essendo n = 1 l'equazione della parabola è:

    

    Quest'equazione permette di ottenere tutte le terne pitagoriche primitive che hanno come valore di b un multiplo di 4 e come valore di c quello di a più 2.

  • Per (c - a) = 8
    
    Esistono infinite coppie m, n con parità opposta e primi fra loro tali che (m² + n²) . (m² - n²) = 8 e ognuna di queste coppie genera una terna pitagorica primitiva.

    

    dove x è un numero intero uguale o maggiore di zero. In questo caso l'equazione della parabola è:

    

• La somma c + a è sempre il doppio di un numero quadrato.
  
  Infatti:

  c + a = m² + n² + (m² - n²) = 2m²

• a oppure b è un multiplo di 3. Se m o n è un multiplo di 3 allora in questi casi è b un multiplo di 3.

• a o b o c è un multiplo di 5. Se m o n è un multiplo di 5 allora è b un multiplo di 5. Se nè m nè n è un multiplo di 5 allora a oppure c è un multiplo di 5.

• Il prodotto abc è un multiplo di 60 (60 = 3x4x5) perchè i fattori 3, 4 e 5 sono sempre presente in qualche numero della terna.

• ab : 2 cioè l'area del triangolo pitagorico è un multiplo di 6 perchè a o b è un multiplo di 3 e b è un multiplo di 4.