Teorema di Pitagora

Estensione spaziale

Le figure geometriche considerate sin qui, triangoli, quadrati, rettangoli, cerchi, sono figure piane poichè si estendono unicamente in due dimensioni. Le figure piane sono figure ideali: possiamo immaginarle con la nostra mente ma non esistono in realtà. Un foglio di quaderno, per quanto sottile, ha una lunghezza, una larghezza e anche un piccolo spessore, ha cioè una terza dimensione. Infatti, mettendo insieme molti fogli si ottiene un quaderno, il cui spessore è apprezzabile. Gli oggetti reali hanno dunque tre dimensioni e si estendono nello spazio. Le figure piane sono limitate dai segmenti o da linee curve, le figure tridimensionali, chiamate genericamente solidi, sono invece limitate da una superficie. I solidi si dividono in due tipi: quelli limitati da una superficie costituita da poligoni detti poliedri e quelli limitati da una superficie curva detti solidi di rotazione. Sono ad esempio poliedri: i parallelepipedi, i cubi, le piramidi.

Sono ad esempio solidi di rotazione: i cilindri, i coni, le sfere.

E' interessante notare alcune analogie legate al teorema di Pitagora tra la geometria piana e quella solida:

• Nel piano la distanza d tra due punti A e B è data dalla relazione:

  

  dove a e b sono le due proiezioni ortogonali del segmento AB rispetto alle due dimensioni del piano. Il segmento AB può essere considerato come la diagonale di un rettangolo, che ha per dimensioni a e b, pertanto il triangolo ABC è rettangolo e la distanza tra i due punti A e B si ottiene applicando il teorema di Pitagora.

  

  La relazione della distanza tra i punti A e B è valida anche se le proiezioni a oppure b sono nulle. In pratica, la relazione della distanza tra i punti A e B è valida anche se il segmento AB sia orizzontale o verticale o nullo.

• Nello spazio la distanza d tra due punti A e B è data dalla relazione:

  

  dove a, b, c sono le tre proiezioni a due a due ortogonali del segmento AB rispetto alle tre dimensioni dello spazio. Il segmento AB puè essere considerato come la diagonale di un parallelepipedo che ha per dimensioni a, b, c, pertanto il triangolo ABC è rettangolo.

  

  Il cateto BC, del triangolo rettangolo ABC, giace nel piano orizzontale ed è a sua volta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo (i cateti di questo triangolo sono le proiezioni ortogonali a e b. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC si ha

  AB² = AC² + BC²

  Essendo AC = c e BC² = a² + b² sostituendo si ottiene:

  AB² = c² + a² + b²

  Da questa relazione si ottiene la distanza tra due punti nello spazio. Pure in questo caso la relazione della distanza continua a valere se a oppure b oppure c sono nulli.

• Nel piano per un punto O possiamo tracciare solo coppie di semirette perpendicolari. Ora se prendiamo un punto A su una semiretta e un punto B sull'altra semiretta e tracciamo il segmento AB, otteniamo il triangolo rettangolo OAB per il quale esiste la relazione:

  c² = a²+ b²

  

• Nello spazio per un punto possiamo tracciare solo triplette di semirette perpendicolari. Se prendiamo un punto su ciascuna semiretta e uniamo a due a due questi punti otteniamo un solido con quattro facce triangolari chiamato tetraedro.

  

  Questo tetraedro è detto trirettangolo perchè tre sue facce sono costituite da triangoli rettangoli. Tra le aree delle facce del tetraedro trirettangolo c'è una relazione scoperta da J. Faulhaber nel 1622 che è analogo a quella pitagorica tra i lati di un triangolo rettangolo. Questa relazione può essere considerata come l'estensione nello spazio del teorema di Pitagora:
  
  il quadrato dell'area della superficie della faccia che non è un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati delle aree delle superfici delle altre tre a forma di triangoli rettangoli.
  
  In altre parole, se A, B, C sono le aree delle facce costituite dai triangoli rettangoli e D è l'area dell'altra faccia si ha:

  D² = A² + B² + C²

  E' interessante notare come le proprietà del triangolo rettangolo possono essere trasformate in analoghe proprietà del tetraedro trirettangolo sostituendo cateto con faccia a forma di triangolo rettangolo, ipotenusa con faccia non a forma di triangolo rettangolo, angolo con diedro.