Teorema di Pitagora

Orizzonti più vasti

Se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo, invece dei soliti quadrati, dei poligoni regolari con lo stesso numero di lati, l'area del poligono regolare sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni regolari sui cateti? Ad esempio, se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei triangoli equilateri, l'area del triangolo equilatero sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli equilateri sui cateti?

L'area di ognuno di questi tre triangoli equilateri è:

Supponiamo che, per i triangoli equilateri costruiti sui lati di un triangolo rettangolo, sia vera la relazione pitagorica C = A + B e sostituiamo i valori delle aree:

Cioè:

Pertanto in un triangolo rettangolo il triangolo equilatero costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei triangoli equilateri costruiti sui cateti. Cosa succede se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei pentagoni regolari oppure degli esagoni regolari oppure dei poligoni regolari con n lati? L'area di un poligono regolare è sempre direttamente proporzionale al quadrato del lato e possiamo esprimerla con la formula:

A = k ⋅ l²

dove k è un valore costante che dipende dal tipo di poligono regolare. Ecco ad esempio il valore di k per alcuni poligoni regolari:

Se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei poligoni regolari con n lati e consideriamo l'uguaglianza tra le aree C = A + B avremo di nuovo una relazione equivalente a quella pitagorica:

k ⋅ c² = k ⋅ a² + k ⋅ b²

Si passa da questa relazione a quella pitagorica dividendo tutti i termini dell'uguaglianza per k. A questo punto s'intuisce che la relazione pitagorica rappresenta un caso particolare dove il valore di k è uguale a 1. Possiamo quindi generalizzare il teorema di Pitagora a tutti i poligoni regolari formulando l'enunciato in questo modo:

Il poligono regolare di n lati costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei poligoni regolari di n lati costruiti sui cateti.

Nei paragrafi precedenti abbiamo visto la vericità del teorema di Pitagora mediante l'equidecomponibilità tra i quadrati sui cateti e il quadrato sull'ipotenusa, nelle seguente figura viene mostrata l'equidecomponibilità tra poligoni regolari sui cateti e lo stesso poligono regolare sull'ipotenusa.