Teorema di Pitagora

Quaterne pitagoriche

Abbiamo visto che nei parallelepipedi rettangoli con le dimensioni a, b, c la diagonale d è data dalla relazione pitagorica:

d² = a² + b² + c²

Le quaterne di numeri interi positivi a, b, c, d che rappresentano rispettivamente le dimensioni del parallelepipedo rettangolo e la sua diagonale sono chiamate quaterne pitagoriche. Ad esempio, i numeri 4, 5, 20, 21 costituiscono una quaterna pitagorica, infatti:

Se i quattro numeri interi non hanno un fattore in comune, cioè sono primi fra loro, allora diremo che formano una quaterna pitagorica primitiva. Anche per le quaterne pitagoriche esiste una formula per generarle. Vediamo un modo per ottenere una semplice formula che genera quaterne pitagoriche. Consideriamo l'dentità:

(m + n)² = m² + 2mn + n²

Ora, se m e n sono due numeri interi positivi e il termine 2mn è un numero quadrato pari allora ponendo:

d² = (m + n)²; a² = m²; b² = 2mn; c² = n²

i numeri:

d = (m + n); a = m; b = √(2mn); c = n

formano una quaterna pitagorica. Ad esempio:

• per 2mn = 4 si ha:

  

• per 2mn = 16 si ha:

  

  In questo caso i due numeri m e n generano due quaterne pitagoriche:

  • Prima quaterna:

    

  • Seconda quaterna:

    

    Questa terna pitagorica è composta essendo:

    4 ⋅ 3² = 4 ⋅ 1² + 4 ⋅ 2² + 4 ⋅ 2²

    Cioè della forma:

    k ⋅ d² = k ⋅ a² + k ⋅ b² + k ⋅ c²

    dove k è un numero intero positivo.

Ecco ad esempio, una lista di quaderne pitagoriche generate da alcuni valori di m e n: