Teorema di Pitagora

Le molteplici dimostrazioni

Da più di duemila anni, il teorema di Pitagora, è stato oggetto di studio e per alcuni è stato un piacevole inizio per acquisire la difficile arte del dimostrare. Molti matematici e non matematici, sono stati cosí attratti da questo teorema che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso e alternativo modo per dimostrarlo. Elisha Scott Loomis nel suo libro The Pythagorean Proposition, pubblicato nel 1940, riporta ben 370 diverse dimostrazioni di questo teorema alcune delle quali si fanno apprezzare per la loro originalità. Nessun altro teorema ha ricevuto tanta attenzione e tante dimostrazioni, nonostante ciò ogni anno vengono pubblicate, dalle riviste matematiche, nuove dimostrazioni. Loomis afferma che per dimostrare il teorema di Pitagora sono possibili solo quattro tipi di dimostrazioni basate:

• sulle relazioni lineari di figure simili (dimostrazioni algebriche);

• sull'equivalenza di figure (dimostrazioni geometriche);

• su operazioni con vettori (dimostrazioni vettoriali);

• su concetti fisici come massa e velocità (dimostrazioni dinamiche).

Non esamineremo tutte queste dimostrazioni perchè il compito sarebbe troppo gravoso e richiederebbe troppo spazio. In questo paragrafo e nei prossimi paragrafi saranno presentate solo alcune dimostrazioni in modo rigoroso, quelle più facili e intuitive, quelle che appaiono in qualche modo più immediate e non richiedono difficili concetti matematici, e quelle un pò curiose. Invece, molte altre dimostrazioni saranno illustrate solo empiricamente con un modello concreto che permette solo di vedere e intuire il teorema. Iniziamo con una semplice dimostrazione che è stata attribuita a Pitagora:

Due quadrati congruenti, che hanno per lato la somma dei cateti di un triangolo rettangolo, sono suddivisi in modo diverso. Il primo quadrato è scomposto in quattro triangoli rettangoli congruenti e due quadrati più piccoli aventi ciascuno per lato un cateto del triangolo rettangolo. Il secondo quadrato, è scomposto in quattro triangoli rettangoli, congruenti tra loro e congruenti a quelli del primo quadrato, e un quadrato più piccolo avente per lato l'ipotenusa del triangolo rettangolo.

Se dai due quadrati congruenti togliamo i quattro triangoli rettangoli gialli otteniamo che i due quadrati verdi costruiti sui cateti del triangolo rettangolo sono equivalenti al quadrato marrone costruito sull'ipotenusa. Questa è una delle cinque verità evidenti chiamate da Euclide nozioni comuni perchè non sono ristrette solo alla geometria:

• Nozione comune 1: Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche fra loro.

• Nozione comune 2: Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.

• Nozione comune 3: Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.

• Nozione comune 4: Cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali.

• Nozione comune 5: Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.

Ecco la dimostrazione animata:

Questa è una classica dimostrazione di equivalenza per differenza: se tolgo da ambedue quadrati grandi uguali i quattro triangoli uguali, ciò che resta avrà la stessa area. Su questo principio, con piccole modifiche si può dimostrare il teorema di Pitagora in moltissimi modi. Ecco cinque esempi:

• Primo esempio:

  

• Secondo esempio:

  

• Terzo esempio:

  

• Quarto esempio:

  

• Quinto esempio:

  

Infine, ecco una variante di questa dimostrazione che potrebbe ripetersi ricorsivamente: