Teorema di Pitagora

Dimostrazione di Euclide

Dato il triangolo rettangolo ABC retto in A costruiamo i quadrati su ognuno dei tre lati e tracciamo: la retta AL passante per A e parallela a BE, e i segmenti AD e IB.

I triangoli ACD e ICB sono congruenti per il primo criterio di uguaglianza perchè hanno uguali due lati (AC = IC e CD = CB) e l'angolo compreso (ACD = ICB sono uguali all'angolo ACB più un angolo retto). Il rettangolo CDLM è il doppio del triangolo ACD perchè hanno la stessa base CD, e sono compresi fra le stesse parallele CD e AL e quindi hanno la stessa altezza. Anche il quadrato AHIC è il doppio del triangolo ICB perchè hanno la stessa base IC, e sono compresi fra le stesse parallele IC e BH. Da ciò si deduce che il rettangolo CDLM è equivalente al quadrato AHIC. Ora tracciamo i segmenti AE e CF.

I triangoli ABE e CBF sono congruenti per il primo criterio: sono uguali due lati (AB = BF, CB = BE) e l'angolo compreso (CBF = ABE). L'area del triangolo ABE è la metà dell'area del rettangolo BELM è perchè hanno la stessa base BE e sono compresi fra le stesse rette parallele BE e ALe quindi hanno la stessa altezza. Anche l'area del triangolo CBF è la metà di quella del quadrato ABFG perchè hanno la stessa base BF e sono compresi fra le stesse rette parallele BF e AG e quindi hanno la stessa altezza. Ne segue che il rettangolo BELM e il quadrato ABFG sono equivalenti. Ora, poichè il quadrato CBED è uguale alla somma dei due rettangoli CMLD e BELM è anche equivalente alla somma dei due quadrati AHIC e CBED. Dunque nei triangoli rettangoli il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalenti alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. In conclusione Euclide dimostra che il quadrato costruito sull'ipotenusa è scomponibile in due rettangoli equivalenti ai due quadrati costruiti sui cateti.

Vediamo ora lo stesso teorema in chiave moderna mediante trasformazioni geometriche che conservano le aree delle figure:

Il quadrato dell'ipotenusa è diviso dal prolungamento dell'altezza del triangolo rettangolo relativa all'ipotenusa in due rettangoli che hanno per lati l'ipotenusa e le proiezioni dei cateti.

Dividiamo, ciascun quadrato costruito su un cateto in due triangoli congruenti tracciando una diagonale. In questo modo ciascun quadrato è stato scomposto in due triangoli ciscuno dei quali ha l'area la metà di quella del quadrato.

Operiamo su due di questi triangoli (uno per ogni quadrato quelli colorati) con una trasformazione che lascia invariata l'area e ciò si ottiene facendo scorrere un vertice parallelamente alla base in modo che si conservi l'altezza relativa alla base. In questo modo i due triangoli hanno un lato uguale all'ipotenusa del triangolo rettangolo e un lato uguale al lato del quadrato costruito sul cateto.

Operiamo una rotazione sui due triangoli come si vede in figura.

Operiamo ancora sui due triangoli con una trasformazione che lasciano invariata l'area. Ora, possiamo facilmente dimostrare che i triangoli sono equivalenti alla metà dei rettangoli che costituiscono il quadrato dell'ipotenusa.

Da ciò si deduce che il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa e quindi la somma delle aree dei quadrati sui cateti è equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.

Ecco la dimostrazione di Euclide animata: