Teorema di Pitagora

La tela elastica

Su una tela elastica disegniamo un triangolo rettangolo con un cateto parallelo alla base della tela e con i relativi quadrati sui lati.

Poi prendiamo le due asticelle all'estremità della tela e tiriamole con la stessa forza in direzione orizzontale in modo da raddoppiare le lunghezze orizzontali. Cosa succede alle figure disegnate sulla tela?

Il triangolo rettangolo rimane ancora rettangolo, i quadrati sui cateti si trasformano in rettangoli e il quadrato sull'ipotenusa si trasforma in un parallelogramma. Questo perchè solo i lati che sono paralleli o perpendicolari alla direzione dello stiramento conservano la loro direzione. Pertanto uno stiramento non conserva nè le dimensioni, nè la forma, nè l'area, nè gli angoli delle figure. Si è conservato però il parallelismo, (coppie di lati paralleli si trasformano in coppie di lati che sono ancora paralleli), e il rapporto tra segmenti appartenenti alla stessa retta o a rette parallele. Questo significa che uno stiramento conserva il rapporto tra le aree, (nella nostra particolare trasformazione tutte le aree si sono raddoppiate). Pertanto, anche dopo lo stiramento, continua a valere la proprietà pitagorica: la somma delle aree dei due rettangoli è equivalente all'area del parallelogramma. Tenete presente che anche gli stiramenti sono delle particolari affinità perchè conservano il parallelismo. A questo punto chiediamoci: se consideriamo un triangolo rettangolo, con i relativi quadrati costruiti sui lati, e operiamo con una generica affinità la proprietà pitagorica continua a valere anche sul risultato della trasformazione? Sí, perchè una trasformazione affine conserva, oltre al parallelismo, anche il rapporto fra le aree di due figure corrispondenti. Come possiamo renderci conto di ciò? Un'affinità è una trasformazione che si ottiene eseguendo prima un'isometria e poi uno stiramento o viceversa. Possiamo allora prima ruotare il triangolo rettangolo con i relativi quadrati e poi stirarlo orizzontalmente. Sulla tela elastica disegniamo allora, ruotato di 30° in senso orario, un triangolo rettangolo con i relativi quadrati sui lati.

Osservate che nessun lato della figura è parallelo alla base della tela. Poi stiriamo orizzontalmente la tela in modo da raddoppiare le lunghezze orizzontali. Dopo lo stiramento il triangolo non è più rettangolo e i quadrati si sono trasformati in parallelogrammi. Ma vale ancora la proprietà pitagorica! Perchè? La figura iniziale ha subito due trasformazione: una rotazione e uno stiramento. La rotazione, essendo un movimento rigido, modifica solo la posizione della figura e quindi conserva la forma, le dimensioni, il parallelismo, l'area e gli angoli della figura. Lo stiramento invece modifica le dimensioni, la forma, l'area e gli angoli della figura. Ma conserva il parallelismo e il rapporto tra le aree. La somma di queste due trasformazioni, cioè l'affinità, conserva quindi il rapporto tra le aree. Per comodità abbiamo considerato solo stiramenti orizzontali e un triangolo rettangolo con i relativi quadrati sui lati ma si ottengono gli stessi risultati anche con stiramenti verticali e con triangoli rettangoli aventi sui lati poligoni simili. Da tutto ciò emerge che esiste una forte connessione fra il teorema di Pitagora e le rette parallele. Euclide cercò invano di dimostrare il teorema di Pitagora senza utilizzare il postulato delle parallele. In altre parole, il terema di Pitagora è indimostrabile senza il V postulato di Euclide.