Teorema di Pitagora generalizzato

Consideriamo un triangolo acutangolo ABC e supponiamo che siano noti due lati, AB e AC e l'angolo compreso α. Tracciamo l'altezza CH, questa divide il lato AB in due parti AH e HB.

Inoltre, l'altezza CH divide il triangolo ABC in due triangoli rettangoli AHC e HBC. Per il triangolo AHC possiamo scrivere le due relazioni:

Per il triangolo HBC possiamo scrivere:

Ossia:

Sostituendo h² + d² con c² e d con c cos α si ha;

Con lo stesso procedimento possiamo ottenere le altre due relazioni:

Queste relazioni valgono anche per i triangoli ottusangoli tenendo presente che l'uguaglianza:

E, se il triangolo è rettangolo essendo α = 90° e quindi cos 90° = 0 si ottiene la relazione pitagorica. In conclusione possiamo dire:

In un triangolo qualunque il quadrato di ciascun lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo tra essi compreso.

Questa proprietà è conosciuta come il teorema del coseno o anche teorema di Carnot in onore al matematico francese Lazare Carnot (1753-1823). Come abbiamo visto il teorema del coseno, comprende come caso particolare, il teorema di Pitagora e per questo motivo è detto anche teorema di Pitagora generalizzato.