Teorema di Pitagora

Se il triangolo non è rettangolo

Il teorema di Pitagora vale solo per i triangoli rettangoli. Come possiamo rendercene conto? Consideriamo un triangolo rettangolo isoscele ABC con l'angolo retto in A. Tracciamo la semiretta s perpendicolare al lato BC nel punto H e passante per il vertice A. Costruiamo inoltre i quadrati sui lati del triangolo.

Sappiamo che la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa. Supponiamo che la base BC del nostro triangolo resti sempre la stessa e di muovere il vertice A lungo la semiretta s. Per ogni spostamento di A anche piccolissimo si ottiene un nuovo triangolo che però non è più retto in A. Possiamo avere due casi:

• Il vertice A si avvicina al punto H.
  
  Se abbassiamo il vertice A, le lunghezze dei lati AB e AC diminuiscono mentre l'ampiezza dell'angolo in A aumenta. Il triangolo rettangolo si trasforma cosí in un triangolo ottusangolo.

  

  Durante questa trasformazione l'area del quadrato sul lato BC rimane costante, mentre le aree dei quadrati sui lati AB e AC diminuiscono. Possiamo quindi dire che l'area del quadrato costruito sul lato maggiore del triangolo ottusangolo è maggiore della somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati. Se a, b, c sono rispettivamente i lati del triangolo ottusangolo dove c è il lato opposto all'angolo ottuso possiamo scrivere la relazione:

  c² > a² + b²

  Questa disuguaglianza è vera per un qualsiasi triangolo ottusangolo, e può essere dimostrata applicando due volte il teorema di Pitagora.

• Il vertice A si allontana dal punto H.
  
  Se alziamo il vertice A, le lunghezze dei lati AB e AC aumentano mentre l'ampiezza dell'angolo A diminuisce. Il triangolo rettangolo si trasforma in un triangolo acutangolo.

  

  Durante la trasformazione l'area del quadrato sul lato BC rimane costante, mentre le aree dei quadrati sui lati AB e AC aumentano. Possiamo quindi dire che l'area del quadrato costruito sul lato BC del triangolo acutangolo è minore della somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati. Se a, b, c sono rispettivamente i lati di un triangolo acutangolo possiamo scrivere la relazione:

  c² < a² + b²

  Questa disuguaglianza è vera per un qualsiasi triangolo acutangolo e può essere dimostrata applicando due volte il teorema di Pitagora.

Ed ecco la rappresentazione dei tre casi in cui sui triangoi isosceli ottusangolo, rettangolo e acutangolo sono costruiti i quadrati sui lati:

Ora, conoscendo le misure dei lati di un triangolo mediante le tre relazioni:

c² = a² + b², c² > a² + b², c² < a² + b²

possiamo stabilire se il triangolo è rettangolo, ottusangolo o acutangolo senza misurare gli angoli.