Teorema di Pitagora

Teorema di Pappo

Applicando una trasformazione affine a un triangolo rettangolo con i relativi quadrati sui lati si ottiene, in generale, un triangolo non rettangolo con dei parallelogrammi sui lati e continua a valere la proprietà pitagorica. Il triangolo non rettangolo con i relativi parallelogrammi rappresenta un'ulteriore generalizzazione del teorema di Pitagora. Questa generalizzazione fu scoperta per la prima volta dal matematico alessandrino Pappo, vissuto nel IV secolo d.C., che la incluse nella sua opera principale Collezione matematica composta da otto libri. La dimostrazione di Pappo è molto ingegnosa, e non utilizza l'affinità perchè, ai suoi tempi, questa trasformazione geometrica era ancora sconosciuta. Vediamo allora con quale costruzione geometrica scoprí questo teorema. Sui lati AC e AB di un triangolo qualsiasi ABC costruí due parallelogrammi di superficie e forma arbritaria.

Prolungò poi i lati dei parallelogrammi DE e GF fino a farli incontrare nel punto H. Tracciò poi la retta HA, in modo da intersecare il lato BC nel punto I. Sulla retta HA prese poi un segmento IL uguale al segmento HA. Infine, costruí sul lato BC del triangolo, il parallelogramma BMNC con il lato BM parallelo e uguale al segmento IL.

A questo punto dimostrò che l'area del parallelogramma BMNC costruito sul lato BC è uguale alla somma delle aree degli altri due parallelogrammi. Questa dimostrazione è molto semplice: prolungando i lati MB e NC fino ad incontrare rispettivamente FG e DE nei punti P e O il parallelogramma AFGB è equivalente al parallelogramma AHPB perchè, hanno la stessa base AB e la stessa altezza, che è la distanza tra le due rette parallele AB e HG.

A sua volta, il parallelogramma AHPB è equivalente al parallelogramma BMLI perchè, hanno la stessa base AH = IL e la stessa altezza che è la distanza tra le due rette parallele HL e MP. Quindi i due parallelogrammi AFGB e BMLI sono equivalenti. Con lo stesso ragionamento si dimostra l'equivalenza tra i parallelogrammi ACDE, ACOH e ILNC per cui si ha:

BMNC = AFGB + ACDE

Nella seguente figura accanto allo schema della dimostrazione di Pappo è stato messo lo schema di una dimostrazione del teorema di Pitagora.

Notate che è possibile passare da uno schema all'altro con una trasformazione affine.