Teorema di Pitagora

Equiscomponibilità

La dimostrazione di Euclide stabilisce che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa. Inoltre, è noto (perchè è stato dimostrato dal matematico ungherese Bolyai) che se due poligoni sono equivalenti allora è sempre possibile dividere il primo in un numero finito di parti e ricomporre con questi il secondo. Possiamo allora dividere un rettangolo in un numero finito di parti e riconporre con queste parti il quadrato equivalente al rettangolo dato. Ad esempio, esiste un semplice metodo per scomporre un rettangolo ABCD in tre parti e ricomporre queste parti in modo da formare il quadrato equivalente EFGH. Conoscendo le misure del rettangolo possiamo facilmente determinare la misura del lato del quadrato equivalente dividento il perimetro del rettangolo per 4. Tracciamo allora sia il rettangolo che il quadrato in modo che il vertice A del rettangolo coincida con il vertice E del quadrato.

Tracciamo il segmento HB.

Il rettangolo viene diviso in tre parti: 2 triangoli e 1 pentagono. Queste tre parti disposte in modo differente formano il quadrato EFGH.

Il rettangolo e il quadrato sono quindi equivalenti per somma di parti a due a due congruenti e sono quindi equicomponibili. Applicando questo procedimento alla dimostrazione di Euclide sul teorema di Pitagora si ottiene la equicomponibilità fra i quadrati costruiti sui lati del triangolo rettangolo come si vede in figura.

Come vedremo in seguito molte dimostrazioni del teorema di Pitagora si basano sulla equicomponibilità fra i quadrati costruiti sui lati del triangolo rettangolo.