Teorema di Pitagora

Punto di vista aritmetico

Da un punto di vista geometrico, l'incommensurabilità, mette in evidenza il conflitto fra il concreto e l'astratto. I greci furono in grado di dominare questo conflitto definendo gli enti geometrici come oggetti non concreti e utilizzarono un metodo dimostrativo astratto. L'incommensurabilità da un punto di vista aritmetico mette in evidenza il conflitto tra il discreto e il continuo. Il conflitto fra grandezze che possono assumere solo certi valori e grandezze che possono assumere qualsiasi valore. Le grandezze discrete hanno sempre un sottomultiplo comune mentre le grandezze continue non sempre hanno un sottomultiplo comune. I numeri naturali sono adatti a rappresentare solo le grandezze discrete, per le grandezze continue sono necessari i numeri irrazionali. Con i numeri naturali è possibile contare le persone, i libri di una biblioteca, gli oggetti, ma non i punti di un segmento. I greci non furono in grado di dominare questo conflitto, non furono in grado di inventarsi questi numeri più astratti. Non riuscirono a liberarsi dalla concezione pitagorica che reputava i numeri come degli oggetti concreti e non delle entità astratte, degli oggetti logici. Se i numeri naturali non sono più sufficienti per i nostri scopi allora bisogna ampliarli. Ben presto si comprese che il numero √2 non è l'unico numero irrazionale. Utilizzando il teorema di Pitagora possiamo ottenere infiniti segmenti irrazionali ad esempio, se consideriamo il triangolo rettangolo con i cateti lunghi rispettivamente 1 unità e 2 unità allora l'ipotenusa è lunga √5 unità e questo numero à irrazionale.

Se i cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi rispettivamente 1 e √n allora l'ipotenusa è lunga √(n+1), e se n+1 non è un numero quadrato allora √(n+1) è un numero irrazionale.

In generale se i cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi rispettivamente √m e √n allora l'ipotenusa è lunga √(m+n) e se m+n non è un numero quadrato allora √(m+n) è un numero irrazionale. Ecco, ad esempio una parte di spezzata, chiamata spirale delle radici quadrate, ottenuta con triangoli rettangoli aventi le ipotenuse espresse in gran parte da numeri irrazionali.

La scoperta dei numeri irrazionali è stato un evento importante per tutta la matematica, perchè il concetto di numero irrazionale è strettamente legato al concetto del continuo. Vediamo questo sorprendente legame. I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta. Per far ciè fissiamo una unità di misura, e riportiamola più volte, sulla semiretta, a partire dall'origine. In questo modo possiamo individuare, sulla semiretta, infiniti punti. Facciamo corrispondere all'origine lo zero e ai punti successivi i numeri successivi.

Ogni numero naturale maggiore di zero ha un numero immediatamente precedente (o consecutivo). Inoltre, tra due numeri interi immediatamente consecutivi non c'è nulla. Ad esempio, 5 ha rispettivamente 4 e 6 come numeri immediatamente precedente e successivo. Tra 5 e 6 o tra 4 e 5 non c'è nessun numero intero. Perciò i numeri naturali sono ben separati l'uno dall'altro. Per questo si dice che l'insieme dei numeri naturali è discreto. Pertanto tutti i numeri naturali non esauriscono tutti i punti della semiretta. Ad esempio, tra 0 e 1 esistono, sulla semiretta, altri punti che non hanno un corrispondente numero naturale. Se, sulla semiretta vogliamo rappresentare, con lo stesso metodo di prima, i numeri razionali positivi abbiamo qualche difficoltà. Se consideriamo il numero razionale 1/2 non abbiamo difficoltà a collocarlo nel punto intermedio tra 0 e 1. Ora, poniamoci la domanda: quale numero razionale precede o succede immediatamente a 1/2? Ebbene non siamo in grado di stabilirlo. Perchè? Se consideriamo un numero razionale vicino quanto si vuole a 1/2, possiamo sempre trovare un altro numero razionale che è compreso tra questi due. Ad esempio, tra 1/2 e 1/3 è compreso 2/5, tra 1/2 e 2/5 è compreso 3/7, tra 1/2 e 3/7 è compreso 4/9, tra 1/2 e 4/9 è compreso 5/11, e cosí via. In generale tra a/b e c/d è compreso (a + c)/(b + d). In altre parole, ogni numero razionale positivo maggiore di zero, non ha un numero razionale immediatamente precedente o consecutivo. Tra un numero razionale e il suo ipotetico precedente (o consecutivo) c'è sempre un altro numero razionale. Per questa proprietà, si dice che l'insieme dei numeri razionali è denso. Sembra dunque che l'insieme dei numeri razionali positivi sia cosí denso da ricoprire completamente la semiretta. Questa ipotesi è falsa, i numeri razionali anche se sono molto densi non ricoprono tutta la semiretta. Per capire che la nostra ipotesi è falsa, costruiamo sulla semiretta un quadrato di lato 1 con un vertice nell'origine e riportiamo, con il compasso, la diagonale del quadrato sulla semiretta. Otteniamo cosí un punto al quale non corrisponde nessun numero razionale perchè √2 non è esprimibile sotto forma di numero razionale. Il numero irrazionale √2 occupa sulla semiretta un buco invisibile lasciato dai numeri razionali che sembravano cosí fitti da occupare tutta la semiretta.

Perciò ad ogni numero razionale positivo corrisponde un punto sulla semiretta ma non è vero il viceversa. Tra i numeri razionali e i punti di una semiretta non c'è una corrispondenza biunivoca. La densità dei numeri razionali positivi è diversa dalla densità geometrica dei punti di una semiretta. I punti di una semiretta formano un continuo, invece i numeri razionali nonostante la loro densità sono discontinui. Su una semiretta, come sono distribuiti i numeri irrazionali? Intuitivamente, possiamo pensare che i numeri razionali, pur essendo densi non ricoprono completamente la semiretta ma lasciano dei buchi nei quali s'inseriscono i numeri irrazionali. I buchi corrispondenti ai numeri irrazionali sono accerchiati da numeri razionali che si addensano sia alla loro destra sia alla loro sinistra. Ancora una volta l'intuito ci porterebbe ad una conclusione falsa. E' stato dimostrato da Georg Cantor (1845-1918) che i numeri irrazionali sono infinitamente di più di quelli razionali. L'insieme dei numeri irrazionali è più denso dell'insieme dei numeri razionali. I punti della semiretta sono principalmente occupati dai numeri irrazionali. L'unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali costituisce l'insieme dei numeri reali. E' allora naturale chiedersi: l'insieme dei numeri reali positivi è, a sua volta, in grado di riempire completamente la semiretta o restano ancora dei buchi invisibili? Richard Dedekind e Georg Cantor, hanno stabilito che esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di una semiretta e i numeri reali positivi. A ogni punto della semiretta corrisponde un unico numero reale, a ogni numero reale corrisponde un unico punto di una semiretta. Questo vuol dire, che l'insieme dei numeri reali positivi esaurisce i punti di una semiretta ed è quindi un insieme continuo.