Teorema di Pitagora

Incommensurabilità

Il teorema di Pitagora ha avuto un ruolo molto importante perchè ha determinato una diversa riflessione sulla natura degli enti geometrici mettendo in evidenza l'esistenza di grandezze incommensurabili e quindi la necessità di ampliare l'insieme dei numeri naturali e razionali introducendo i numeri irrazionali. Ma procediamo con ordine. Ad un segmento si può sempre accostare un altro segmento uguale, e poi ancora un altro e cosí via. Si può cosí costruire sempre un segmento multiplo a quello di partenza. Si può anche dividere un segmento in due o più parti uguali e poi dividere ogni parte ottenuta in due o più parti uguali e cosí via. Possiamo cosí costruire sempre un segmento sottomultiplo a quello di partenza. Ora, se consideriamo due segmenti qualsiasi possiamo sempre costruire un segmento sottomultiplo comune ai due segmenti? Intuitivamente, in base alla nostra esperienza pratica, siamo propensi a rispondere di sí. Anche Pitagora credeva che le lunghezze di due segmenti si possono sempre commisurare con una stessa misura. In quel periodo era diffusa l'opinione che tutti i segmenti fossero commensurabili. La commensurabilità fra due segmenti qualsiasi, esprime l'esistenza di un terzo segmento, contenuto esattamente un numero intero di volte sia nel primo, sia nel secondo segmento. Il confronto fra le lunghezze dei due segmenti si può allora rappresentare con un rapporto fra due numeri naturali. Ad esempio, i due segmenti AB e CD in figura:

hanno come misura comune il segmento u; AB = 2u, CD = 3u. Il confronto fra AB e CD è quindi esprimibile con la frazione 2/3. Ora, se consideriamo il quadrato ABCD con il lato di 1 unità e tracciamo la diagonale BD dividiamo il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli.

E se applichiamo al triangolo rettangolo ABD, il teorema di Pitagora per determinare l'ipotenusa BD otteniamo:

BD² = AB² + AD² = 1² + 1² = 2

cioè

Il rapporto fra la diagonale e il lato del quadrato è allora:

In base alla commensurabilità dei segmenti, tale rapporto deve essere esprimibile con una frazione. Quindi dovrebbero esistere due numeri interi a e b tali che si abbia:

Ma nonostante gli innumerevoli tentativi furono individuate solo frazioni o minori o maggiori di √2. Frazioni che si avvicinavano sempre di più, per difetto o per eccesso, al valore della radice quadrata di 2. Venne allora il sospetto che non è possibile mettere √2 sotto forma di frazione. In altri termini, il lato e la diagonale di un quadrato sono incommensurabili e quindi non esiste un segmento contenuto esattamente un numero intero di volte sia nel lato, sia nella diagonale di un quadrato e ciò fu effettivamente dimostrato. Questa dimostrazione, è importante per due motivi:

• segna la data di nascita dei numeri irrazionali;

• è la prima dimostrazione per assurdo.

In una dimostrazione per assurdo si assume per vera la proprietà che si vuole dimostrare falsa, e con una serie di ragionamenti, si arriva poi ad una contraddizione, cioè a una conclusione assurda. Pertanto l'assunzione iniziale non è vera ma falsa. In questa dimostrazione si suppone che √2 può essere messa sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini, dimostrando poi che questa frazione può essere semplificata all'infinito senza mai essere ridotta nella sua forma più semplice e ciò è assurdo. Infatti, ogni frazione ha una sua forma più semplice alla quale si perviene dopo un numero finito di semplificazione. Ad esempio, la frazione 12/18 può essere semplificata in 6/9 dividendo il numeratore e il denominatore per 2 e 6/9 può essere semplificata in 2/3 dividendo il numeratore e il denominatore per 3. La frazione 2/3 non può essere ulteriormente semplificata perchè il 2 e il 3 non hanno divisori comuni maggiori di 1. Pertanto la frazione 2/3 è la forma più semplice della frazione 12/18. La conclusione è dunque che √2 non può essere rappresentata con una frazione. Questa scoperta fu sorprendente ed ebbe un enorme impatto su tutta la costruzione matematica di quel periodo spazzando via tutte le dimostrazioni che si basavano sulla supposta commensurabilità di tutti i segmenti. Vediamo allora nei prossimi paragrafi le conseguenze di questa scoperta da due punti di vista: quello geometrico e quello aritmetico.