Teorema di Pitagora

Dalla pratica alla dimostrazione

Che cos'è un teorema? Lo avete intuito: è una proposizione nella quale si afferma una proprietà, (nel teorema di Pitagora è una proprietà di una figura geometrica, il triangolo rettangolo), che si può provare mediante un ragionamento che utilizza esclusivamente fatti già noti. Il procedimento logico che permette di provare la veridicità della proprietà è chiamato dimostrazione. Pertanto ogni teorema è costituito da due parti essenziali: l'enunciato della proprietà e la dimostrazione della proprietà. Inoltre, anche l'enunciato è costituito da due parti:

• Ipotesi:
  
  E' la parte iniziale dell'enunciato che esprime quello che si suppone vero;

• Tesi:
  
  E' la parte finale dell'enunciato che esprime quello che si deve dimostrare.

Ad esempio, l'enunciato del teorema di Pitagora è cosí costituito:

ipotesi: se il triangolo è rettangolo

tesi: allora il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Pertanto l'enunciato assume la forma:

Furono i matematici greci ad introdurre il concetto di teorema, e la necessità di dimostrare ogni teorema. Con i greci, la matematica fu trasformata in una scienza basata su ragionamenti logici. E questa per la matematica fu una vera rivoluzione perchè le permise di fare il salto di qualità: di passare dal ragionamento sul come si risolve un problema al ragionamento più importante del perchè un problema si risolve in quel modo. La prima dimostrazione di questa proprietà dei triangoli rettangoli è stata attribuita a Pitagora di Samo (570-500 a. C.), anche se di questo matematico greco, non si è conservato nessuno scritto di matematica. Lucio Lombardo Radice (1920-1983) nel suo libro La matematica da Pitagora a Newton dice: Naturalmente, sulla scoperta di Pitagora non abbiamo nè giornali, nè libri, nè riviste dell'epoca, perchè a quell'epoca non c'erano nè giornali, nè libri, nè riviste. Abbiamo solo leggende o meglio storie raccontate da scrittori vissuti secoli e secoli dopo. Non si conosce quindi con quali ragionamenti logici Pitagora sia riuscito a giustificarla. Si sa che viaggiò molto, soprattutto in Egitto e in Mesopotamia, ed è probabile che in uno di questi viaggi sia venuto a conoscenza di alcune applicazioni pratiche di questa proprietà. Fu costretto ad abbandonare la sua isola per sfuggire al tiranno Policrate. Si rifugiò nella Magna Grecia a Crotone dove fondò una scuola filosofica. Scampato miracolosamente a una sommossa popolare fuggi a Metaponto dove poco dopo morí. E' importante osservare che Pitagora, con la sua dimostrazione, affermò che il teorema aveva validità generale. Cioè era vero per qualsiasi triangolo rettangolo. Era vero sia per i triangoli rettangoli i cui lati erano stati effettivamente misurati sia per i triangoli rettangoli i cui lati non erano stati misurati. Si stabilí cosí un principio fondamentale: una proprietà deve valere per tutti i casi a cui essa si riferisce, basta un solo caso contrario per farla decadere. Ricordiamoci che la varietà dei triangoli rettangoli è infinita e sicuramente non possiamo misurare i lati di tutti questi triangoli e verificare che vale la proprietà pitagorica. E' bene far presente che c'è una notevole differenza fra la prova sperimentale (o empirica) e la prova matematica (o dimostrazione). Con la prova sperimentale si esaminano un certo numero di casi, e si osserva se c'è la concordanza approssimativa di tutti i dati ottenuti. Il suo valore di verità è solo indicativo e provvisorio. E' vera per i casi esaminati, ma non è detto che sia sempre vera per gli altri casi. Se ci sono infiniti casi differenti è possibile esaminarne solo una piccola parte. Chi può garantirci che non ci sia un caso, che non abbiamo esaminato, il cui dato sia completamente diverso dagli altri? Per questo si dice che la verità della prova sperimentale vale fino a prova contraria. La prova matematica si basa esclusivamente su un ragionamento logico senza prendere in considerazione un caso particolare. Il suo valore di verità è assoluto. Se il ragionamento è corretto allora la conclusione è indiscutibile e vale per tutti i casi. Inoltre, la prova matematica una volta accertata resta vera per sempre.

Pitagora fu uno dei primi a capire che la prova matematica, era uno strumento potentissimo, tale da trasformare la matematica in una scienza rigorosa. Lucio Lombardo Radice afferma: ... al tempo di Pitagora, nelle isole greche e nella Magna Grecia, la geometria si trasforma da raccolta di regole pratiche e di osservazioni staccate, ... in scienza razionale, cioè in ragionamenti generali sulle figure in generale (non più su quel triangolo rettangolo di lati 3, 4, 5 o su quell'altro, ma su tutti i triangoli rettangoli. Sul teorema di Pitagora la prima dimostrazione che conosciamo fu data da, Euclide (300 a. C.) nei suoi Elementi (trattato di matematica composto da tredici libri). Questo testo fu, ed è ancora oggi, considerato fondamentale per la matematica. Euclide ebbe il merito di presentare in modo organizzato tutto il sapere matematico del suo tempo (465 teoremi) con estrema chiarezza e rigore logico.