Teorema di Pitagora

Un semplice metodo

Ci sono molti metodi per ottenere terne pitagoriche, quello più semplice consiste nel prendere una coppia di numeri naturali consecutivi entrambi pari o entrambi dispari e di sommare i loro reciproci, il numeratore e il denominatore della frazione cosí ottenuta rappresentano i cateti di un triangolo pitagorico. Ad esempio:

• Con la coppia di numeri pari consecutivi 2 e 4 si ha:

  

  E 3 e 4 sono i cateti del triangolo rettangolo 3, 4, 5.

• Con la coppia di numeri pari consecutivi 4 e 6 si ha:

  

  E 5 e 12 sono i cateti del triangolo rettangolo 5, 12, 13.

• Con la coppia di numeri dispari consecutivi 3 e 5 si ha:

  

  E 8 e 15 sono i cateti del triangolo rettangolo 8, 15, 17.

• Con la coppia di numeri dispari consecutivi 5 e 7 si ha:

  

  E 12 e 35 sono i cateti del triangolo rettangolo 12, 35, 37.

Vediamo di capire perchè questo metodo genera sempre cateti di un triangolo pitagorico.

• Coppie di numeri pari consecutivi.
  
  Due generici numeri pari consecutivi possono essere indicati con:

  2n e 2n + 2

  dove n è un numero naturale. Pertanto la somma dei loro reciproci è:

  

  Ora, se il numeratore e il denominatore della frazione finale, sono i cateti di un triangolo pitagorico, deve verificarsi che la somma dei loro quadrati sia a sua volta un quadrato. Vediamo:

  

  E i numeri

  2n + 1; 2n² + 2n; 2n² + 2n + 1

  generano sempre una terna pitagorica primitiva quando n è un numero naturale. Possiamo allora concludere che il metodo della somma dei reciproci di due numeri pari consecutivi genera sempre i primi due numeri di una terna pitagorica primitiva.

• Coppie di numeri dispari consecutivi.
  
  Due generici numeri dispari consecutivi possono essere indicati con:

  2n + 1 e 2n + 3

  dove n è un numero naturale. La somma dei loro reciproci è:

  

  Ora se il numeratore e il denominatore della frazione finale, sono i cateti di un triangolo pitagorico, deve verificarsi che la somma dei loro quadrati sia a sua volta un quadrato. Vediamo:

  

  Pertanto i numeri:

  4n + 4; 4n² + 8n + 3; 4n² + 8n + 5

  generano sempre una terna pitagorica quando n è un numero naturale. Anche in questo caso le terne pitagoriche sono primitive, perchè si ottengono sempre due numeri dispari consecutivi. Possiamo allora concludere che il metodo della somma dei reciproci di due numeri dispari consecutivi genera sempre i primi due numeri di una terna pitagorica primitiva.