Teorema di Pitagora

Dimostrazioni algebriche

Vediamo come è possibile dimostrare il teorema di Pitagora algebricamente. Se indichiamo con a, b, c le rispettive misure dei cateti e dell'ipotenusa di un generico triangolo rettangolo il teorema di Pitagora può essere tradotto nel linguaggio algebrico con la seguente equazione detta equazione pitagorica:

c² = a² + b²

• La prima dimostrazione è stata attribuita al matematico indiano Bhaskara (1114-1185) vissuto nel XII secolo ed è basata sulla proprietà che un quadrato può essere sempre suddiviso in quattro triangoli rettangoli uguali non isosceli e in un quadrato più piccolo il cui lato è uguale alla differenza dei cateti del triangolo rettangolo. Supponiamo che a, b, c siano le rispettive misure dei cateti e dell'ipotenusa del triangolo rettangolo.

  

  Ora, l'area del quadrato grande di lato c è dato da:

  

  E sviluppando si ottiene:

  c² = a² + b²

• La seconda dimostrazione algebrica che mostreremo fu scoperta nel 1876 da James Garfield (1831-1881) che fu il ventesimo presidente degli USA. Garfield per la sua dimostrazione utilizzò un trapezio rettangolo ottenuto disponendo due triangoli rettangoli uguali e un triangolo rettangolo isoscele come in figura.

  

  L'area del trapezio è data dalla somma delle basi per l'altezza diviso due.

  

  Possiamo però calcolare l'area del trapezio anche in un altro modo: sommando le aree dei tre triangoli.

  

  Possiamo quindi scrivere:

  

  E sviluppando i calcoli si ottiene:

  c² = a² + b²

  Se accostiamo opportunamente due trapezi rettangoli utilizzati in questa dimostrazione otteniamo la figura:

  

  Cioè un quadrato che ha per lato la somma dei cateti di un triangolo rettangolo suddiviso in quattro triangoli rettangoli congruenti e un quadrato che ha per lato l'ipotenusa dei triangoli. Ora, questa figura come abbiamo visto è stata utilizzata in una precedente dimostrazione geometrica.

• La terza dimostrazione si basa sul teorema della secante e della tangente a una circonferenza. Si traccia una circonferenza di diametro DE e centro in B. Da un punto A, esterno alla circonferenza e situato sulla retta DE si traccia la tangente, che tocca la circonferenza nel punto C e si traccia il raggio CB. Il triangolo ABC è rettangolo perchè la tangente e i il raggio sono fra loro perpendicolari.

  

  In virtù del teorema della secante e della tangente possiamo scrivere la proporzione:

  AE : AC = AC : AD

  Cioè

  AC² = AE ⋅ AD

  Essendo DB = BE = BC (sono i raggi della circonferenza) possiamo scrivere:

  AE = AB + BE = AB + BC

  AD = AB - DB = AB - BC

  Pertanto si ha:

  AC² = (AB + BC)(AB - BC)

  E sviluppando si ottiene:

  AC² = AB² - BC²

  E quindi:

  AB² = AC² + BC²

• La quarta dimostrazione è del matematico olandese Floor van Lamoen e si basa sulla scomposizione di un quadrato di lato a+b.
  
  Il quadrato ABCD di lato a+b viene diviso dal segmento HF in due trapezi rettangoli congruenti ABFH e CDHF. Inoltre, il trapezio ABFH viene diviso in tre triangoli rettangoli: i triangoli AEH e EBF sono congruenti e le misure dei loro lati sono a, b e c, il triangolo rettangolo isoscele EFH con i cateti che misurano c. Il trapezio CDHF viene diviso in tre triangoli rettangoli: il triangolo CGF è isoscele con i cateti che misura a, il triangolo GDH e isoscele con i cateti che misurano b, e il triangolo FGH.

  

  L'area del trapezio ABFH è dato dalla somma delle aree dei tre triangoli che misurana:

  

  L'area del trapezio CDHF è dato dalla somma delle aree dei tre triangoli che misurana:

  

  Essendo uguali i due trapezi possiamo scrivere:

  

  Cioè:

  c² = a² + b²