Teorema di Pitagora

Terne pitagoriche

Il più noto tra i triangoli rettangoli è quello con le misure delle lunghezze dei lati espresse dai numeri interi 3, 4, 5 (triangolo egizio). Partendo da questo triangolo possiamo ottenere infiniti triangoli rettangoli con i lati espressi da numeri interi. Basta moltiplicare le misure dei tre lati del triangolo per uno stesso numero intero. Ad esempio se moltiplichiamo le misure dei tre lati per 2 otteniamo il triangolo rettangolo con i lati lunghi 6, 8, 10, se moltiplichiamo le misure dei tre lati per 3 otteniamo il triangolo rettangolo con i lati lunghi 9, 12, 15. Da un punto di vista geometrico questi triangoli rettangoli hanno tutti la stessa forma, cioè risultano simili perchè hanno i lati corrispondenti in proporzione e gli angoli corrispondenti uguali. Questi triangoli si possono ottenere ingrandendo il triangolo egizio con una trasformazione geometrica. Ad esempio, possiamo ottenere questi ingrandimenti con un'omotetia. L'omotetia è una particolare similitudine che lascia immutata non solo la forma della figura ma anche la direzione dei lati. I triangoli ottenuti con un'omotetia hanno i lati corrispondenti paralleli e i vertici corrispondenti allineati su semirette aventi l'origine in comune. Nella figura sono rappresentati due triangoli omotetici al triangolo egizio.

Poniamoci allora la domanda: esistono dei triangoli rettangoli con i lati interi che non siano simili al triangolo con i lati 3, 4, 5? La risposta è sí, anche i babilonesi avevano scoperto alcuni di questi triangoli. Ad esempio il triangolo con i lati 5, 12, 13; (5² + 12² = 13²) oppure con i lati 8, 15, 17; (8² + 15² = 17²). Questi triangoli non sono simili tra loro e non sono simili al triangolo egizio.

Le terne di numeri interi che rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo sono chiamate terne pitagoriche. Se i tre numeri interi non hanno un fattore in comune, cioè sono primi fra loro, allora diremo che formano una terna pitagorica primitiva. Ad esempio le terne pitagoriche:

3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17

sono primitive perchè in ogni terna i tre numeri sono primi tra loro. Naturalmente, da ogni terna pitagorica primitiva, si possono ottenere infinite terne pitagoriche derivate moltiplicando i tre numeri per uno stesso fattore. Quanti sono i triangoli rettangoli non simili tra loro con i lati interi? Esiste una regola per individuare tali triangoli? Probabilmente anche Pitagora si era posto queste due domande ed a lui, è stata attribuita una formula molto semplice per individuare terne di numeri interi, che rappresentano i lati di un triangolo rettangolo. Con questa regola i lati a, b, c dei triangoli rettangoli non simili si ottengono ponendo:

Dove m è un qualsiasi numero naturale dispari maggiore di 1. Ad esempio, nella tabella sono riportate le prime sette terne pitagoriche che si ottengono con questa regola.

Se analizziamo queste terne pitagoriche possiamo notare che:

• Le misure dei cateti sono una pari e l'altra dispari.

• Il valore del cateto pari è sempre un multiplo di 4.

• La differenza tra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del cateto pari è sempre uguale a 1.

E' strano ma vero, questa regola pur fornendo infinite terne pitagoriche primitive non è in grado, però, di generarle tutte. Ad esempio, non è in grado di generare la terna pitagorica primitiva 8, 15, 17. Esiste allora una formula più generale in grado di fornire tutte le terne pitagoriche primitive? Questo problema equivale alla determinazione di tutte le soluzioni intere positive dell'equazione pitagorica: c² = a² + b². La soluzione generale di questa equazione è stata attribuita a Euclide (300 a. C.) ed è stata utilizzata da Diofanto (III sec. d. C.) nella sua opera Arithmetica ed è data dalle formule:

Dove m e n sono numeri naturali che devono soddisfare le tre condizioni:

• m sia maggiore di n;

• m e n siano primi fra loro;

• m e n siano di parità diversa (se m è pari allora n deve essere dispari e viceversa).

Ad esempio, nella tabella sono riportate le prime terne pitagoriche primitive che si ottengono con questa regola.

Se i due numeri naturali m e n soddisfano solo la prima condizione, (m maggiore di n), allora dalla formula di Euclide si ottengono terne pitagoriche sia primitive sia derivate. Ad esempio per m = 4 e n = 2 si ottiene la terna pitagorica derivata 12, 16, 20 e per m = 5 e n = 3 si ottiene la terna derivata 16, 30, 34. Però, con questa sola condizione non è possibile ottenere tutte le terne pitagoriche derivate. Ad esempio se m e n sono due numeri naturali, con la formula di Euclide non è possibile ottenere la terna pitragorica derivata 9, 12, 15. Per ottenere tutte le terne pitagoriche primitive e derivate bisogna utilizzare la formula:

Dove k, m e n sono tre numeri naturali con m > n. Ad esempio, per k = 3, m = 2 e n = 1 si ottiene la terna pitagorica 9, 12, 15.