Teorema di Pitagora

Teorema di Pitagora e trigonometria

Il termine trigonometria deriva dalle due parole greche trigonon, triangolo e metron, misura, e dunque vuol dire misurazione dei triangoli. L'etimologia della parola rievoca lo scopo iniziale della trigonometria piana: stabilire le relazioni tra gli angoli e i lati di un triangolo. Questa branca della matematica trae la sua origine in epoca assai remota, come ausilio dell'astronomia. Dall'esperienza pratica si intuiva che tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo esistevano delle particolari relazioni. Lo studio e la ricerca di queste relazioni rappresentano il passaggio dalla geometria classica del triangolo alla trigonometria. Questo passaggio fu lento e richiese molti secoli. Tracciando triangoli rettangoli aventi lo stesso angolo acuto:

Si osservò che questi triangoli oltre a conservare la forma, essendo simili, conservano anche i rapporti tra i lati:

Ad esempio, in un qualsiasi triangolo rettangolo con un angolo acuto di 45°, il rapporto tra i cateti è sempre uguale a 1 e il rapporto tra un cateto e l'ipotenusa è sempre uguale a 1/√2. Questi tre rapporti sono indipendenti dalla lunghezza dei lati del triangolo, dipendono però dall'angolo acuto fissato: ad ogni valore dell'angolo corrisponde uno ed un solo valore per ognuno dei tre rapporti. Questa dipendenza dall'angolo si esprime affermando che i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo sono funzioni goniometriche. A questi tre rapporti è stato assegnato un nome particolare:

Usualmente questi tre nomi sono abbreviati con i simboli tag α (oppure tan α), sen α (oppure sin α), cos α. Possiamo quindi scrivere le seguenti relazioni:

Un triangolo rettangolo ha due angoli acuti α e β, e quindi con gli stessi ragionamenti possiamo determinare le altre tre relazioni:

Da queste relazioni si ottiene:

• la relazione che lega tra loro le tre funzioni trigonometriche:

  

  Infatti:

  

• la relazione che lega il sin α con il cos α:

  

  Infatti applicando il teorema di Pitagora

  a² + b² = c²

  E dividendo per c² si ottiene:

  

  Questa relazione viene detta identità trigonometrica fondamentale e rapprenta l'analogo del teorema di Pitagora nella trigonometria.

Queste relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo possono essere estese anche ai triangoli acutangoli o ottusangoli perchè ogni triangolo acutangolo è riconducibile alla somma di due triangoli rettangoli e ogni triangolo ottusangolo è riconducibile alla differenza di due triangoli rettangoli.

Grazie alla trigonometria è stato possibile prevedere i moti e le posizioni dei corpi celesti, la compilazione di un calendario e la navigazione. Oggi la trigonometria è utilizzata in tutte le scienze per studiare i fenomeni che hanno un andamento circolare o ondulatorio.