Teorema di Pitagora

Prima di Pitagora

La storia del teorema di Pitagora ha inizio cinquemila anni fa lungo le rive del fiume Nilo. Qui, su questo fertile ma ristretto territorio, dal IV millennio a. C. fino alle soglie dell'era cristiana sorse e prosperò la civiltà egizia. Gli egiziani svilupparono l'agricoltura, il commercio, la scrittura, l'arte, l'astronomia e l'architettura. Costruirono le prime città, (This, Menfi, Tebe), colossali monumenti come la sfinge e le piramidi, le famose tombe dei faraoni. Nell'antico Egitto gli arpenodatti, (tenditori di funi), per misurare utilizzavano una corda graduata ottenuta dividendola in parti uguali con dei nodi (a quell'epoca non c'era il metro). Una particolare corda era divisa, da tredici nodi, in dodici parti uguali. Questa corda stesa sul terreno era messa in tensione da tre paletti. Il primo paletto era infilato nel quarto nodo, il secondo nell'ottavo nodo e il terzo teneva uniti il primo e il tredicesimo nodo in modo da formare un triangolo con i lati lunghi rispettivamente 3 nodi, 4 nodi, 5 nodi.

Gli egiziani, avevano scoperto che il triangolo cosí ottenuto era rettangolo e lo utilizzavano come una squadra per costruire edifici e monumenti con angoli perfettamente retti. Infatti, un triangolo con i lati 3, 4 e 5, soddisfa la relazione del teorema di Pitagora:

5² = 3² + 4²

Per molti secoli continuarono a servirsi di questa costruzione senza mai chiedersi: perchè un triangolo con i lati lunghi 3, 4 e 5 doveva essere per forza rettangolo? Questo particolare triangolo rettangolo fu chiamato triangolo egizio.

In Mesopotamia, regione del Medio Oriente situata fra i due fiumi Tigre ed Eufrate (oggi fa parte dell'Iraq), i babilonesi (con questo termine s'indicano una serie di popolazioni, sumeri, accadi, assiri che contemporaneamente o successivamente occuparono quella regione), scoprirono che esistevano altri diversi tipi di triangoli rettangoli particolari che avevano i lati espressi da numeri interi. I babilonesi già verso la fine del IV millennio a.C. avevano sviluppato un singolare e completo sistema di scrittura denominato cuneiforme e scrivevano i testi su tavolette di argilla soffice che poi essiccavano al sole o in forni in modo da rendere permanente la scrittura. L'introduzione della scrittura fu un'importantissima innovazione perchè permise di trasmettere le conoscenze in una forma più stabile e duratura rispetto alla comunicazione orale. Questo ha permesso alle successive generazioni di assimilare più in fretta e con maggior precisione le esperienze e le conoscenze accumulate dai predecessori. Molte di queste tavolette si sono conservate e furono scoperte nel XIX secolo durante gli scavi archeologici condotti in quelle zone. Una tavoletta d'argilla, denominata Plimpton 322, risalente tra il 1900-1600 a. C., ritrovata nell'antica città di Nippur, riporta quindici terne di numeri interi che rappresentano i lati d'altrettanti triangoli rettangoli.

Non si conosce come queste terne siano state ottenute, ma sicuramente erano utilizzate per risolvere problemi pratici. Nelle tavolette d'argilla, finora ritrovate, non c'è nessuna traccia nè di teoremi nè di formule espresse in termini generali. Ci sono invece problemi pratici di vita quotidiana o relativi alla costruzione di edifici o di monumenti. Ecco ad esempio un problema connesso al teorema di Pitagora trovato scritto su una tavoletta di argilla:

Un bastone lungo 30 unità è appoggiato verticalmente contro un muro. Il suo estremo superiore scivola verso il basso di 6 unità. Di quanto il piede del bastone si à allontanato dalla base del muro?.

Sulla tavoletta è descritto anche il procedimento per risolvere il problema: Fare il quadrato di 30 e togliere da questo il quadrato di 24 (24 = 30 - 6) si ottiene cosí il quadrato di 18. Quindi il bastone si allontana 18 unità dalla base del muro. La soluzione del problema è data sotto forma di una ricetta da eseguire meccanicamente che possiamo tradurre in:

30² - 24² = 18²

E come si vede siamo in presenza di un'applicazione del teorema di Pitagora su un triangolo rettangolo con i lati lunghi 18, 24 e 30. I babilonesi conoscevano quindi la proprietà pitagorica, ma questa conoscenza era sempre riferita a dei casi particolari. Era riferita a dei triangoli rettangoli i cui lati erano stati effettivamente misurati. Possiamo dire che la conoscenza di questa proprietà era stata ottenuta dall'esperienza pratica, cioè sperimentalmente. Ogni problema era considerato un caso particolare che aveva la sua ricetta risolutiva, ottenuta a sua volta dall'esperienza. Le conoscenze sul triangolo rettangolo furono trasmesse dai babilonesi e dagli egiziani a una nuova civiltà: la civiltà greca. L'ascesa di questa civiltà iniziò attorno al 1600-1500 a.C. in Grecia e lungo le coste dell'attuale Turchia. All'inizio i greci subirono l'influenza delle civiltà limitrofe ma ben presto si distinsero per il loro ingegno e creatività. Diedero origine ad una cultura strabiliante che per molti secoli fu egemone su tutte le regioni affacciate sul Mediterraneo. La civiltà greca ha avuto un'enorme influenza sullo sviluppo della cultura occidentale. Furono i greci a trasformare la matematica in una scienza esatta. Questo popolo ebbe una particolare attenzione per la geometria, sull'ingresso dell'Accademia di Atene c'era scritto il motto: non entri qui chi ignora la geometria. Recentemente si è scoperto che la proprietà pitagorica era nota anche ad altre civiltà. In India nel V secolo a.C. erano utilizzati triangoli rettangoli particolari con i lati 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 12, 35, 37. Anche nell'antica Cina il teorema di Pitagora era noto. Il più antico testo cinese ancora esistente, il Chou Pei Suan Ching (il libro classico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo) risalente al VI secolo a. C. contiene un passo in cui si spiega perchè la diagonale di un rettangolo con le dimensioni 3 e 4 unità è lunga 5 unità.

Prima si fa vedere che il quadrato costruito sulla diagonale di un rettangolo con le dimensioni 3 e 4 unità è inscrittibile in un quadrato di lato 7 unità, poi si indica un modo per calcolarne l'area. Infatti, togliendo dall'area del quadrato di lato 7 l'area dei quattro mezzi rettangoli si ha:

49 - 24 = 25

cioè

(4 + 3)² - 2(3 x 4) = 4² + 3² = 5²