Teorema di Pitagora

Punto di vista geometrico

Prima della scoperta dell'incommensurabilità dei segmenti la geometria greca era ancora influenzata dalla esperienza pratica e c'era una sorta di simbiosi tra una geometria intuitiva e una geometria razionale. In quel periodo era naturale identificare gli oggetti geometrici come degli oggetti materiali. Un punto geometrico era immaginato come un piccolissimo granello di sabbia con le dimensioni piccole ma finite. Il segmento a sua volta era formato da un numero finito di questi granelli posti uno accanto all'altro come tante perline di una collana. Questa visione ingenua degli enti geometrici non dovrebbe sorprenderci. Sul monitor di un computer, il punto è rappresentato con un quadratino luminoso (pixel) e il segmento come un insieme di tanti quadratini luminosi posti uno accanto all'altro. Ora quando il quadratino luminoso è isolato il nostro occhio riesce a distinguerlo e lo percepisce come un punto. Nel caso del segmento, poichè questi puntini luminosi sono cosí piccoli e ravvicinati, il nostro occhio non riesce a distinguerli, e quindi l'immagine che percepiamo è quella di un segmento continuo e non composto da tanti puntini. Ecco ad esempio l'immagine al computer di un segmento e lo stesso segmento ingrandito.

Anche le immagini che vediamo con un televisore sono formate da tanti puntini luminosi colorati eppure il nostro occhio non riesce a distinguerli. In quel periodo non c'erano nè computer nè televisori ma c'erano mosaici. Osservando da lontano un mosaico non abbiamo la sensazione che l'immagine è stata costruita accostando tante piccole pietre colorate. Considerare un segmento, come un'entità granulare formata da un numero finito di punti, permetteva, da un punto di vista teorico, di poter esprimere la lunghezza del segmento con il numero dei punti. Era, quindi possibile far corrispondere ad un segmento un dato numero naturale, e viceversa ad un numero naturale era possibile far corrispondere un dato segmento. Cosí il confronto fra le lunghezze di due segmenti poteva essere rappresentato da una frazione.

L'incommensurabilità dei segmenti, provocò una profonda crisi perchè era inconciliabile con il punto dotato di dimensioni e con la concezione granulare del segmento. La diagonale e il lato del quadrato sono segmenti incommensurabili e quindi non hanno un segmento sottomultiplo comune. In generale, non è vero che due segmenti sono sempre commensurabili. Questa verità è in netto contrasto con la nostra esperienza quotidiana o con il nostro intuito: se misuriamo il bordo e la diagonale del piano di un tavolo quadrato otteniamo due misure commensurabili. Ma, attenzione, la misurazione fatta in senso fisico con uno strumento, fornisce sempre un valore approssimato. Le nostre misure sono commensurabili solo perchè sono approssimate. Si capí allora, che non bisognava fidarsi dell'esperienza pratica o dell'intuizione, gli oggetti geometrici come il punto, la linea, la superficie, non possono essere considerati come degli oggetti materiali, concreti. Ebbe cosí inizio una revisione radicale della geometria, che non fu semplice e richiese quasi duecento anni. Una vera rivoluzione, che alla fine fece nascere una nuova geometria. Una geometria svincolata dagli oggetti materiali e da operazioni concrete, una geometria dove non erano più evidenti le sue origini concrete e pratiche, una geometria innaturale ma purificata dalle contraddizioni. La geometria fu considerata un'attività intellettuale e un metodo per scoprire nuove conoscenze. C'è un famoso aneddoto su Euclide, riferito da Stobeo, che mette in evidenza questa concezione della geometria come scienza pura non contaminata dalle applicazioni pratiche. Un discepolo, dopo aver appreso i primi teoremi chiese a Euclide: Maestro, quale utile ricaverò imparando la geometria?. Euclide chiamò un servo, e gli ordinò di dare una moneta all'incauto discepolo e poi di allontanarlo dalla scuola, perchè voleva trarre profitto da ciò che imparava. Gli oggetti geometrici come il punto, la linea e la superficie furono definiti in modo da non poter più essere identificati con degli oggetti concreti. Diventano degli oggetti astratti, immateriali che non esistono fisicamente in natura, diventano degli oggetti ideali che possiamo solo immaginare. Il punto non ha dimensioni, la linea ha una sola dimensione, la lunghezza, la superficie ha solo due dimensioni la lunghezza e la larghezza. La scoperta dei segmenti incommensurabili e quindi la necessità di considerare il punto senza dimensioni non fu accolta senza qualche resistenza e fu tenuta segreta per un pò di tempo. Secondo una leggenda fu Ippaso di Metaponto, un discepolo di Pitagora a divulgarla e per questo motivo Giove, il padre degli dei, per punirlo lo fece morire in un naufragio. Euclide negli Elementi definí gli enti primitivi in questo modo:

• punto è ciò che non ha parti;

• linea è lunghezza senza larghezza;

• superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

Non potendo, costruire degli oggetti geometrici astratti, non possiamo nemmeno accettare come vera una proprietò geometrica dimostrata solo sperimentalmente. Per fare un esperimento è necessario utilizzare dei modelli concreti che sono molto diversi dai corrispondenti modelli astratti. Per dimostrare le proprietà di oggetti astratti bisogna utilizzare un metodo astratto, un metodo basato esclusivamente sul ragionamento logico. Da allora per i matematici questa è diventata una regola fissa da seguire scrupolosamente: un teorema è accettato come tale solo se è stato dimostrato, in modo rigoroso, con un ragionamento logico. L'incommensurabilità ha trasformato la matematica in una scienza particolare, una scienza astratta diversa dalle altre scienze come la fisica, la chimica, la biologia, ecc. che progrediscono utilizzando prove sperimentali fatte su oggetti reali. Ma una geometria cosí astratta ha il vantaggio della generalità. I ragionamenti sulle figure astratte sono universali, valgono per tutte le figure che hanno le stesse caratteristiche. Il rischio maggiore, di una scienza cosí astratta, è quello di perdere il collegamento con la realtà e diventare un gioco di fantasia tanto da risultare incomprensibile alla maggior parte delle persone. Dimostrare un nuovo teorema con un metodo astratto non è semplice richiede una forte concentrazione mentale e molta creatività, doti queste che sono presenti nelle persone giovani. Non è un caso che molti matematici utilizzino modelli concreti come appoggi visivi per intuire o per avere una conferma sperimentale di nuovi teoremi. Solo successivamente intraprendono il gravoso compito della dimostrazione logica. Nel 1906 fu ritrovato un libro di Archimede (287-212 a. C.) intitolato Il metodo nel quale l'autore spiega come sia riuscito a scoprire dei teoremi di geometria sulle aree e sui volumi utilizzando dei modelli meccanici. I modelli concreti hanno la funzione di farci capire con delle operazioni concrete l'astratto. In questo modo si crea un contatto tra l'operazione concreta e l'operazione astratta.