Teorema di Pitagora

Facciamo scorrere i quadrati

Consideriamo il quadrato ABCD e supponiamo di poter far scorrere il lato BC parallelamente al lato opposto AD.

Dopo aver effettuato lo scorrimento otteniamo il parallelogramma AB'C'D. Ora il quadrato di partenza e il parallelogramma cosí ottenuto non hanno: nè la stessa forma, nè le stesse dimensioni, nè gli stessi angoli. Eppure hanno ancora qualcosa in comune: hanno i lati opposti paralleli, hanno la stessa base e la stessa altezza e quindi hanno la stessa area. Possiamo dire che queste due figure pur essendo apparentemente diverse hanno ancora delle caratteristiche comuni, hanno quindi un'affinità. I matematici utilizzano la parola affinità per indicare una trasformazione che si ottiene eseguendo prima un'isometria (traslazione, rotazione, ribaltamento) e poi uno stiramento o viceversa. La caratteristica principale dell'affinità è quella di conservare il parallelismo: coppie di lati paralleli si trasformano in coppie di lati che sono ancora paralleli. Pertanto la trasformazione per scorrimento, che ci ha portato dal quadrato al parallelogramma, è una particolare affinità perchè oltre a conservare il parallelismo ha conservato anche le aree. In generale l'affinità non conserva le aree. Consideriamo ora un triangolo rettangolo con i quadrati costruiti sui lati, e per ogni quadrato, facciamo scorrere un lato parallelamente al lato opposto.

Ogni quadrato si trasforma in un parallelogramma che ha la stessa area del quadrato di partenza.

Possiamo allora affermare che anche per questi parallelogrammi ottenuti per scorrimento dei quadrati quello sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei parallelogrammi sui cateti. E' importante tenere presente che i parallelogrammi ottenuti per scorrimento dei quadrati non sono simili. Per rendere ancora più evidente che il teorema di Pitagora può valere anche per i poligoni non simili si può far scorrere solo il lato del quadrato costruito sull'ipotenusa.

In questo modo sui lati del triangolo rettangolo ci sono due quadrati e un parallelogramma ed è evidente che i quadrati sono simili tra loro ma non sono simili al parallelogramma.

Se sui lati del triangolo rettangolo sono costruiti dei rettangoli simili e operiamo una trasformazione affine per scorrimento otteniamo in generale dei parallelogrammi ma possiamo ottenere anche dei rombi.

Naturalmente per tutti i poligoni simili costruiti sui lati di un triangolo rettangolo possiamo operare una trasformazione affine per scorrimento. Dopo la trasformazione, i poligoni non sono più simili ma vale ancora la proprietà pitagorica.