Un quadrilatero qualsiasi

Un quadrilatero è la parte di piano limitata da quattro segmenti collegati agli estremi a due a due in modo che la figura sia chiusa (e segmenti consecutivi non siano allineati). Un quadrilatero ha quindi quattro lati, quattro vertici, quattro angoli:

Osserviamo il quadrilatero ABCD in figura:

• I lati AB e BC sono lati consecutivi;

• I due lati non consecutivi AB e CD (oppure AD e BC) sono lati opposti;

• I due vertici A e C (oppure B e D) che non appartengono allo stesso lato sono vertici opposti;

• I segmenti AC e BD che collegano due vertici opposti sono le diagonali del quadrilatero. Ogni quadrilatero ha 2 diagonali.

Anche per i quadrilateri, come per i triangoli, esiste una condizione per la effettiva costruibilità:

ogni lato deve essere minore della somma degli altri tre.

Pertanto, dati quattro segmenti qualsiasi, non è sempre possibile costruire il quadrilatero che abbia per lati quei quattro segmenti come si vede in figura.

Consideriamo gli angoli interni di un quadrilatero:

• Gli angoli α e β sono angoli adiacenti al lato AB, gli angoli β e γ sono angoli adiacenti al lato BC, gli angoli γ e δ sono angoli adiacenti al lato CD, gli angoli δ e α sono angoli adiacenti al lato DA;

• Gli angoli α e γ (oppure β e δ) sono angoli opposti.

Se tracciamo una diagonale, ad esempio la diagonale AC, questa divide il quadrilatero in due triangoli ABC e ACD:

Poichè in ognuno dei due triangoli la somma degli angoli interni è di 180°, si ha:

in ogni quadrilatero la somma degli angoli interni è sempre di 360°.

Inoltre, se consideriamo un solo angolo esterno per ogni vertice, un quadrilatero ha quattro angoli esterni:

Come si vede la somma dei quattro angoli interni e dei quattro angoli esterni (in verde) è di quattro angoli piatti. Sappiamo che la somma dei quattro angoli interni è di due angoli piatti; togliendo a quattro angoli piatti due angoli piatti otteniamo la somma degli angoli esterni che è quindi di due angoli piatti, cioè di 360°.

Se costruiamo un modello di quadrilatero con quattro strisce otteniamo una struttura articolabile che può assumere varie forme esercitando una leggera pressione sulle strisce come si vede in figura.