Cosa devi sapere sui quadrilateri

Proprietà di un quadrilatero ciclico

Un quadrilatero è detto ciclico se è inscritto in una circonferenza e come sappiamo questi quadrilateri hanno gli angoli opposti supplementari. Inoltre, per questi quadrilateri esiste una relazione fra i lati e le diagonali che è nota con l'appellativo di teorema di Tolomeo in onore dell'astronomo Claudio Tolomeo (ca. 100-175 d.C.) che inserí questo teorema nel primo libro della sua opera più famosa l'Almagesto:

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza, la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali.

Questo teorema si dimostra mediante due coppie di triangoli simili che si determinano prendendo sulla diagonale AC il punto E, tale che l'angolo AEB sia congruente con l'angolo BCD.

I due triangoli AEB e BCD sono simili avendo gli angoli corrispondenti congruenti: gli angoli in E e in C sono congruenti per costruzione, gli angoli in A e in D sono congruenti perchè insistono sullo stesso arco BC. Possiamo quindi scrivere la proporzione:

AB : BD = AE : CD

E essendo il prodotto degli estremi uguale al prodotto dei medi si ha:

AB ⋅ CD = BD ⋅ AE

Anche i due triangoli ABD e BEC sono simili

Gli angoli in C e in D sono congruenti perchè insistono sullo stesso arco AB, gli angoli in A e in E sono congruenti perchè sono entrambi supplementari all'angolo BCD. Possiamo quindi scrivere la proporzione:

AD : EC = BD : BC

E essendo il prodotto degli estremi uguale al prodotto dei medi si ha:

AD ⋅ BC = EC ⋅ BD

Sommando membro a membro le due uguaglianze si ottiene:

AB ⋅ CD + AD ⋅ BC = BD ⋅ AE + EC ⋅ BD

E mettendo in evidenza BD al secondo membro si ha:

AB ⋅ CD + AD ⋅ BC = BD ⋅ (AE + EC)

E essendo AE + EC = AC si ha:

BD ⋅ AC = AB ⋅ CD + AD ⋅ BC

Se applichiamo il teorema di Tolomeo a un rettangolo ciclico si perviene al teorema di Pitagora:

Inoltre, per i quadrilateri ciclici è possibile determinare la loro area conoscendo le misure a, b, c, d dei lati mediante la formula di Brahmagupta:

dove p è il semiperimetro. la formula di Brahmagupta ci dice che possiamo costruire un unico quadrilatero ciclico con determinate misure dei lati e quindi può essere considerato un criterio di congruenza per i quadrilateri ciclici. Se consideriamo un triangolo come il caso limite di un quadrilatero ciclico, con il lato di lunghezza d nulla la formula di Brahmagupta diventa:

cioè la formula di Erone