Cosa devi sapere sui quadrilateri

Rombi isoperimetrici

Fra tutti i rombi di uguale perimetro qual è quello di area massima? Con un semplice modello si può facilmente vedere che è il quadrato quello di area massima:

Il quadrato costruito su un lato del rombo ha lo stesso perimetro del rombo ma come si può vedere dalla figura l'area del quadrato è maggiore di quella del rombo. Infatti, il rombo è suddiviso dalle diagonali in quattro triangoli rettangoli congruenti che hanno per cateti le semidiagonali mentre il quadrato è suddiviso in cinque parti: quattro triangoli rettangoli congruenti con quelli del rombo più un quadrato che ha per lato la differenza delle semidiagonali del rombo. Ora, si intuisce che il quadrato e il rombo avranno la stessa area se e solo se la differenza tra le semidiagonali del rombo è zero e questo avviene quando le due diagonali sono uguali. Ma un rombo con le diagonali uguali è un quadrato e quindi le due figure rombo e quadrato avranno la stessa area quando entrambi sono quadrati. In generale:

fra tutti i quadrilateri di uguale perimetro quello regolare (il quadrato) ha l'area massima e fra tutti i quadrilateri di uguale area quello regolare (il quadrato) ha perimetro minimo.