Cosa devi sapere sui quadrilateri

Quadrilateri inscritti in uma circonferenza

Un quadrilatero è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza; equivalentemente la circonferenza è circoscritta al quadrilatero. Quali quadrilateri sono inscrivibili in una circonferenza? Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora necessariamente i suoi lati sono corde della circonferenza e quindi gli assi dei suoi lati passano tutti per il centro della circonferenza.

Pertanto:

un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli assi dei suoi lati si incontrano in uno stesso punto che è il centro della circonferenza circoscritta.

Ora, se osserviamo un quadrilatero inscritto in una circonferenza possiamo renderci conto che gli angoli opposti sono supplementari:

Infatti, i due angoli opposti α e β sono due angoli alla circonferenza che insistono rispettivamente sull'arco BCD e BAD. Inoltre, sono rispettivamente uguali alla metà degli angoli al centro α^' e β^' e poichè la somma di questi due angoli al centro è di 360° ne segue che la somma di α e β è di 180°. Analogamente anche la somma degli altri due angoli opposti del quadrilatero è 180° essendo la somma degli angoli interni di un quadrilatero 360°. Pertanto:

un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.

Quest'ultima condizione di inscrittibilità ci permette di dire che gli unici parallelogrammi inscrittibili in una circonferenza sono i rettangoli e quindi anche i quadrati essendo dei rettangoli particolari. Inoltre, tra tutti i trapezi gli unici ad essere inscrittibili sono quelli isosceli.