Cosa devi sapere sui quadrilateri

Trapezi e diagonali

Ogni treapezio viene diviso dalle diagonali in quattro triangoli:

Quali relazioni esistono tra questi triangoli?

• I triangoli ABE e CDE sono simili per il primo criterio di similitudine avendo gli angoli ordinatamente congruenti:

  

  • Gli angoli EAB e ECD sono congruenti perchè sono angoli alterni interni rispetto alle due rette parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AC.

  • Gli angoli EBA e EDC sono congruenti perchè sono angoli alterni interni rispetto alle due rette parallele AB e CD tagliate dalla trasversale BD.

  • Gli angoli AEB e CED sono congruenti perchè sono angoli opposti al vertice E.

• I triangoli ADE e BCE sono equivalenti per differenza di triangoli equivalenti:

  

  • I triangoli ACD e BCD sono equivalenti perchè hanno la stessa base CD e la stessa altezza DH=CH'.

  • I triangoli ACD e BCD hanno in comune il triangolo CDE e quindi i triangoli ADE E BCE sono equivalenti perchè differenza di triangoli equivalenti.

    

• Relazione tra le aree dei quattro triangoli:
  
  Indichiamo con A₁, A₂, A₃, A₄ le aree rispettivamente di ABE, CDE, ADE, BCE:

  

  Inoltre, se indichiamo la misura di CD con b e la misura di GE con h si ha:

  

  L'area del trapezio è data dalla somma delle aree dei quattro triangoli:

  A_tr = A₁ + A₂ + A₃ + A₄

  Ma è anche uguale alla semisomma delle basi per l'altezza:

  

  Uguagliando le due relazioni dell'area del trapezio si ha:

  

• Relazione tra l'area del trapezio e le aree dei due triangoli simili:
  
  Consideriamo l'uguaglianza:

  A_tr = A₁ + A₂ + A₃ + A₄

  Essendo A₃ = A₄ possiamo scrivere:

  A_tr = A₁ + A₂ + 2A₃

  E essendo:

  

  Si ha:

  

  Cioè: