Cosa devi sapere sui quadrilateri

Problemi di massimo e minimo

Fra tutti i rettangoli di uguale perimetro qual è quello di area massima? Problemi isoperimetrici di questo tipo sono molto antichi e da sempre hanno suscitato un particolare interesse perchè danno luogo a numerose applicazioni e importanti generalizzazioni. Nel corso del tempo si sono sviluppati molti metodi (geometrici, grafici, infinitesimali) e creati appositi modelli per comprendere e risolvere questi problemi. Ad esempio, nel nostro caso si può utilizzare un modello molto semplice costituito da un pezzo di spago annodato alle estremità e tenuto ben teso tra l'indice e il pollice delle due mani in modo da formare un rettangolo.

Ora, allontanando o avvicinando le mani possiamo modificare le dimensioni del rettangolo. Tutti questi rettangoli hanno lo stesso perimetro, perchè non cambia la lunghezza dello spago. Ma ci rendiamo conto che cambiano le aree dei rettangoli perchè possiamo avere i due casi limite quando allontaniamo le mani e avviciniamo l'indice al pollice una delle due dimensioni si annulla e quindi l'area vale zero. Il fatto che l'area dei rettangoli isoperimetrici non si conservi ci garantisce che ci deve essere un rettangolo di area massima e siccome possiamo modificare sia la base che l'altezza dei rettangoli si intuisce che deve esserci il caso in cui la base è uguale all'altezza e quindi si forma il rettangolo particolare che è il quadrato. Si intuisce che il rettangolo di area massima sia proprio il quadrato. Possiamo confermare questa nostra intuizione geometrica con il metodo algebrico: se indichiamo con 4l la lunghezza dello spago e quindi il perimetro dei rettangoli isoperimetrici possiamo indicare le dimensioni dei rettangoli con l+x e l-x:

E l'area A è data da:

A = (l + x)(l - x) = l² - x²

Da questa formula è evidente che l'area è massima quando x = 0, cioè quando le dimensione del rettangolo sono entrambe lunghe l e quindi quando il rettangolo diventa un quadrato.

Possiamo allora dire che:

fra tutti i rettangoli isoperimetrici, il quadrato ha l'area massima.

Questa affermazone di tipo geometrico può essere tradotta in una di tipo algebrico:

Il prodotto di due numeri che hanno somma costante è massimo quando i due numeri sono uguali.

Fra tutti i rettangoli di uguale area qual è quello di perimetro minimo?. Un modo semplice per intuire la risposta a questo quesito è quello di considerare dei rettangoli costituiti da un dato numero di quadratini e vedere qual è quello che ha il perimetro minimo

Come si vede dalla figura è il quadrato quello che ha il perimetro minimo. Anche questa intuizione geometrica può essere confermata con il metodo algebrico: se indichiamo con s² l'area costante dei rettangoli possiamo indicare le dimensioni dei rettangoli con:

s⋅x      e      s/x

e il semiperimetro p con:

p = s⋅x + s/x

Mettendo in evidenza s e sviluppando si ottiene:

Ora è evidente che il semiperimetro è minimo quando x=1 e cioè quando le dimensioni del rettangolo sono uguali e quindi quando il rettangolo è un quadrato. Possiamo allora dire che:

fra tutti i rettangoli equivalenti, il quadrato ha perimetro minimo.

Anche questa affermazone di tipo geometrico può essere tradotta in una di tipo algebrico:

La somma di due numeri che hanno prodotto costante è minima quando i due numeri sono uguali.

Se confrontiamo i due risultati:

fra tutti i rettangoli di stesso perimetro, il quadrato ha l'area massima;

fra tutti i rettangoli di stessa area, il quadrato ha perimetro minimo:

e sostituiamo la parola perimetro con la parola area e la parola massima con la parola minimo possiamo passare dalla prima alla seconda affermazione e viceversa. In questi casi si dice che i due teoremi sono fra loro duali. In generale nei problemi di massimo e minimo se vale un teorema di massimo, allora vale anche il teorema di minimo duale.