Cosa devi sapere sui quadrilateri

I punti medi di un quadrilatero

Tracciamo un qualsiasi quadrilatero ABCD e consideriamo il quadrilatero EFGH avente per vertici i punti medi dei lati di ABCD. Cosa possiamo dire del quadrilatero EFGH?

Comunque venga scelto il quadrilatero ABCD il quadrilatero EFGH avente per vertici i punti medi dei lati di ABCD è un parallelogramma. Questa insospettata proprietà dei quadrilateri fu scoperta dal matematico francese Pierre Varignon (1654-1722) ed è chimata, in suo onore, teorema di Varignon. La dimostrazione di questo teorema è semplice e si basa sul teorema dei punti medi di un triangolo. Vediamo; tracciamo le diagonali del quadrilatero ABCD.

Consideriamo il triangolo ABC: il segmento EF passa per i punti medi dei lati AB e BC e quindi è parallelo alla base AC e congruente alla sua metà. Consideriamo il triangolo ACD: il segmento GH passa per i punti medi dei lati CD e AD e quindi è parallelo alla base AC e congruente alla sua metà. Per la proprietà transitiva allora i segmenti EF e GH sono paralleli e congruenti. Con lo stesso ragionamento si può dire che anche i segmenti EH e FG sono paralleli e congruenti e quindi il quadrilatero EFGH è un parallelogramma.

In particolare si ottiene un parallelogramma anche quando il quadrilatero ABCD è concavo

Inoltre, se il quadrilatero ABCD ha le diagonali uguali e quindi è un rettangolo allora il quadrilatero EFGH è un rombo.

Se il quadrilatero ABCD ha le diagonali perpendicolari e quindi è un rombo o un deltoide allora il quadrilatero EFGH è un rettangolo.

Se il quadrilatero ABCD è un quadrato allora il quadrilatero EFGH è un quadrato.