Cosa devi sapere sui quadrilateri

Trasformazione di un quadrilatero in un rombo isoperimetrico

Consideriamo il quadrilatero in figura:

E vediamo come possiamo trasformarlo in un rombo avente lo stesso perimetro del quadrilatero ma con l'area più grande.

• Primo passo: Tracciamo la diagonale BD e l'ellisse passante per il punto A e avente i fuochi in B e D.

  

  Ricordiamo che l'ellissi è il luogo dei punti equidistanti da due punti fissi detti fuochi. Pertanto, muovendo il vertice A sull'ellisse si ottengono un insieme di triangoli A'BD isoperimetrici aventi per base BD. Fra tutti questi triangoli isoperimetrici quello isoscele ha l'area massima avendo l'altezza massima.

  

  Con questo primo passo abbiamo trasformato il quadrilatero iniziale ABCD in un quadrilatero isoperimetrico A'BCD con i lati A'B e A'D congruenti e con un'area maggiore.

• Secondo passo: Tracciamo l'ellisse passante per il punto C e avente i fuochi in B e D.

  

  Muoviamo il punto C sull'ellisse in modo che il triangolo BC'D sia isoscele:

  

  Con il secondo passo abbiamo trasformato il quadrilatero A'BCD in un deltoide A'BC'D con lo stesso perimetro ma con un'area maggiore.

• Terzo passo: Tracciamo l'ellisse passante per i punti B e D e avente i fuochi in A' e C'.

  

  Muoviamo i punti B e D in modo che i triangoli A'B'C' e A'C'D' siano triangoli isosceli.

  

  Con il terzo passo abbiamo trasformato il deltoide A'BC'D nel rombo A'B'C'D' isoperimetrico al quadrilatero iniziale ABCD ma con l'area massima.

Possiamo quindi, dire che:

fra tutti i quadrilateri isoperimetrici il rombo ha l'area massima.