Cosa devi sapere sul cerchio e circonferenza

Circonferenza circoscritta e inscritta in un quadrilatero

Esistono delle semplici condizioni per stabilire se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza o circoscrittibile a una circonferenza. Ad esempio, il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza.

Si vede subito che la somma degli angoli opposti è di 180°, ricordando che un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro. Infatti, α e β sono angoli alla circonferenza, α’ e β’ sono i corrispondenti angoli al centro. Si ha:

α’ + β’ = 360°     α + β = 180°

Quindi se un quadrilatero è inscrittibile allora gli angoli opposti sono necessariamente supplementari (ma si potrebbe dimostrare anche il viceversa, cioè se un quadrilatero ha angoli opposti supplementari allora è inscrittibile). Pertanto:

Un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza quando ha gli angoli opposti supplementari.

Il quadrilatero ABCD è circoscritto a una circonferenza.

Ora possiamo facilmente vedere che la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due. Basta ricordare che segmenti tangenti a una circonferenza, condotti da un punto esterno, sono uguali. Quindi se un quadrilatero è circoscrittibile allora è uguale la somma dei lati opposti (ma è vero anche il viceversa, cioè se in un quadrilatero è uguale la somma dei lati opposti allora è circoscrittibile. Pertanto:

Un quadrilatero è circoscrittibile a una circonferenza quando è uguale la somma di lati opposti.

Se consideriamo i quadrilateri più noti e le condizioni di inscrittibilità e di circoscrittibilità allora ci rendiamo conto che:

• I quadrati sono inscrittibili e circoscrittibili.

• I rettangoli sono inscrittibili ma non circoscrittibili (in generale non è uguale la somma di lati opposti).

  

• I rombi non sono inscrittibili (in generale angoli opposti non sono supplementari) ma sono circoscrittibili.

  

• I trapezi isosceli sono inscrittibili ma non circoscrittibili.

  

• I trapezi rettangoli non sono nè inscrittibili nè circoscrittibili.