;

Cerchio, angoli e radianti

Molti fenomeni naturali si ripetono nel tempo con regolarità, come il giorno e la notte, le fasi lunari, le stagioni, il movimento apparente delle stelle, le eclissi. Questi fenomeni ciclici furono osservati dai popoli primitivi fin dai tempi più remoti e apparve naturale utilizzare il moto dei corpi celesti come uno strumento per misurare lo scorrere del tempo. La misurazione del tempo era fondamentale per conoscere i periodi delle semine e le festività religiose. Gli astronomi babilonese osservando le fasi lunari, stabilirono che la luna mutava il suo aspetto ciclicamente con un periodo che variava da 29 a 30 giorni. Per misurare il trascorre del tempo di un anno siderale (il tempo impiegato dal sole per raggiungere la stessa posizione rispetto alle stelle) utilizzarono un calendario lunare diviso in 12 mesi e ogni mese era composto da 30 giorni. Furono gli astonomi di quel periodo che dal ciclo delle stagioni di 360 giorni ebbero l'idea di dividere il cerchio in 360 gradi e usare la base 60 del sistema di numerazione babilonese per dividere il grado e il minuto primo in 60 parti. Da allora il sistema sessagesimale è utilizzato per misurare sia gli angoli che il tempo.

Un'altra modalità di misura dell'angolo è il radiante che si basa sulla seguente proprietà:

La lunghezza di archi circolari di raggio diverso, ma corrispondenti ad angoli al centro uguali, stanno tra loro come i rispettivi raggi.

Se consideriamo un cerchio con centro in O e raggio 1, tutti gli angoli con vertice in O sono proporzionali agli archi da essi intercettati sulla circonferenza. Questa corrispondenza permette di esprimere la misura dell'angolo con la misura dell'arco che gli corrisponde. Ad esempio all'angolo giro corrisponde un arco di lunghezza 2Π, all'angolo piatto un arco di lunghezza Π, all'angolo retto un arco di lunghezza Π/2. Possiamo anche dire che esiste una proporzionalità tra angoli al centro espresso in gradi e i corrispondenti angoli in radianti e ciò si esprime con la proporzione:

Da questa proporzione si ottengono le formule per convertire gradi in radianti e viceversa.

L'angolo unità detto angolo radiante è la misura di un angolo che ha vertice nel centro della circonferenza di raggio 1 e sottende un arco di circonferenza di lunghezza 1.

Consideriamo la proporzione:

se l è la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio 1 misurato in radianti si ha:

Cioè

La misura di un angolo espresso in radianti è uguale al rapporto fra la lunghezza dell'arco da esso sotteso in una qualsiasi circonferenza col centro nel vertice e il raggio di questa circonferenza.