Cosa devi sapere sul cerchio e circonferenza

Circonferenza circoscritta a un triangolo

Se prendiamo un compasso con una apertura fissa a piacere possiamo tracciare quante circonferenze vogliamo passanti per un dato punto A e lo stesso possiamo fare anche se cambiamo continuamente l'apertura del compasso.

Si intuisce, quindi che per un punto fissato A passano infinite circonferenze. Anche per due punti fissati A e B passano infinite circonferenze e i centri delle circonferenze passanti per A e B sono tutti sull'asse del segmento AB.

Consideriamo ora tre punti A, B, C non allineati e chiediamoci: esiste una circonferenza che passi per A, B e C?. I punti A, B, C sono vertici di un triangolo.

Passando per A e B la circonferenza deve avere il centro sull'asse del segmento AB; passando per B e C il centro deve stare sull'asse di BC; passando per A e C il centro deve stare sull'asse di AC. Ma noi sappiamo che i tre assi di un triangolo hanno un punto in comune, il circocentro. Quindi, prendendo il centro della circonferenza nel circocentro O del triangolo, avremo che il centro sta su tutti e tre gli assi e dunque potremo tracciare una circonferenza che passi per A, B e C.

Possiamo quindi dire: Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.

Osserviamo che il triangolo ABC ha i tre vertici sulla circonferenza e quindi possiamo dire che è inscritto in una circonferenza oppure che la circonferenza è circoscritta al triangolo. In generale: Un triangolo è sempre inscrittibile in una circonferenza. Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta. Questa proprietà dei triangoli è tutt'altro che banale: non è infatti vero che qualsiasi poligono sia inscrittibile in una circonferenza. Anzi è vero il contrario: in generale un poligono non è inscrittibile in una circonferenza. Consideriamo ad esempio un rombo ABCD e tracciamo i quattro assi dei lati.

Come si vede i quattro assi dei lati non passano per uno stesso punto. Non esiste quindi una circonferenza che passi per i quattro vertici del rombo.

Per quattro punti in generale non passa una circonferenza.