Cosa devi sapere sul cerchio e circonferenza

La similitudine nella circonferenza

Vediamo alcune proprietà sulle corde, sulle secanti e sulla secante e tangente.

• Proprietà delle corde:
  
  Se in una circonferenza due corde AB e CD si intersecano in un punto E, i segmenti che si formano su AB e quelli che si formano su CD sono rispettivamente, gli estremi e i medi di una proporzione.

  

  Congiungiamo A con C e B con D:

  

  Gli angoli alla circonferenza ACD e ABD sono uguali perchè insistono sullo stesso arco, gli angoli AEC e BED sono uguali perchè sono opposti al vertice e quindi i triangoli ACE e BDE sono simili. Pertanto possiamo scrivere la proporzione:

  AE : DE = CE : BE

  Oppure possiamo scrvere che il prodotto delle misure dei segmenti in cui AB resta divisa da E è uguale al prodotto delle misure dei due segmenti in cui CD resta divisa da E.

  AE ⋅ BE = DE ⋅ CE

• Proprietà delle secanti:
  
  Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i quattro segmenti che hanno un estremo nel punto P e l’altro nei punti di intersezione delle secanti con la circonferenza, i segmenti della prima secante sono gli estremi e i segmenti della seconda secante sono i medi di una proporzione.

  

  Congiungiamo A con D e B con C:

  

  Consideriamo i due triangoli PBC e PDA: l'angolo in P è comune ai due triangoli, gli angoli alla circonferenza PBC e PDA sono uguali perchè insistono sullo stesso arco e quindi i due triangoli sono simili. Pertanto possiamo scrivere la proporzione:

  PB : PD = PC : PA

  Oppure possiamo scrvere che il prodotto delle misure dei due segmenti appartenenti a una secante è uguale al prodotto delle misure dei due segmenti appartenenti all'altra secante.

  PA ⋅ PB = PC ⋅ PD

• Proprietà della secante e della tangente:
  
  Se da un punto P esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangenza è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi P e ciascuno dei punti di intersezione.

  

  Congiungiamo A con B e C:

  

  Consideriamo i due triangoli PAB e PAC: l'angolo in P è comune ai due triangoli, gli angoli alla circonferenza PAB e PCA sono uguali perchè insistono sullo stesso arco e quindi i due triangoli sono simili. Pertanto possiamo scrivere la proporzione:

  PC : PA = PA : PB

  Oppure possiamo scrvere che il prodotto fra la misura dei due segmenti che hanno un estremo nel punto P esterno e l'altro nei punti di intersezione della secante con la circonferenza è uguale al quadrato della misura del segmento di tangenza.

  PC ⋅ PB = PA²