Cosa devi sapere sul cerchio e circonferenza

Dividere una circonferenza in n parti uguali

Fin dall'antichità i matematici si sono posti il problema di dividere una circonferenza in n parti uguali per poter costruire un poligono regolare di n lati (se una circonferenza è divisa in n archi uguali congiungendo successivamente gli n punti di divisione si ottiene un poligono regolare di n lati). Nell'antica grecia, la divisione della circonferenza fu ampiamente dibattuta e studiata ponendo una condizione: la costruzione doveva essere eseguita geometricamente utilizzando solo una riga non graduata e un compasso. Con questa limitazione i greci riuscirono a dividere la circonferenza in 3, 4, 5, 15 parti uguali. E bisecando gli archi delle divisioni precedenti riuscirono a dividere la circonferenza in 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, ... parti uguali e quindi erano in grado di dividere una circonferenza in:

2ⁿ,    3⋅2ⁿ,    5⋅2ⁿ,    3⋅5⋅2ⁿ

parti uguali e costruire i relativi poligoni regolari. Ecco ad esempio le divisioni della circonferenza in 3, 4, 5, 6, 8, 10 parti uguali e i relativi poligoni regolari inscritti nella circonferenza.

Divisione in tre parti uguali	Divisione in quattro parti uguali
Divisione in cinque parti uguali	Divisione in sei parti uguali
Divisione in otto parti uguali	Divisione in dieci parti uguali

Però i greci non furono in grado di dividere la circonferenza in 7, 9, 11, 13, 14, 17 parti uguali. Per molti secoli si cercò, senza successo, di ottenere anche queste divisioni della circonferenza. Solo nel 1796 il giovane Gauss scoprí che, una circonferenza può essere divisa in n parti con riga e compasso se e solo se n è un numero del tipo:

2^kp₁p₂p₃...p_s

dove k è un numero intero non negativo e i fattori p_i sono numeri di Fermat primi distinti. Fermat congetturò che i numeri del tipo:

fossero primi per ogni valore di m.

Ma nel 1732 Euleero si accorse che 6416700417 non è primo. In altre parole, Gauss scoprí che con riga e compasso è anche possibile dividere una circonferenza in 17, 257, 65537 parti uguali (la divisione in 17 parti fu realizzata dallo stesso Gauss mentre le divisioni in 257 e 65537 furono realizzate successivamente) ma non è possibile dividere una circonferenza in 7, 9, 11, 13, 14, ... parti uguali.