Indice
Cerchio e circonferenza
Corde
Parti del cerchio
Posizione di una retta rispetto a una circonferenza
Posizioni di due circonferenze
Angoli al centro e angoli alla circonferenza
La similitudine nella circonferenza
Circonferenza circoscritta a un triangolo
Circonferenza inscritta in un triangolo
Circonferenza circoscritta e inscritta in un quadrilatero
Poligoni inscritti e circoscritti
Lunghezza della circonferenza
Area del cerchio
Lunghezza di un arco e area di un settore circolare
Area di un segmento circolare e area della corona circolare
Quadratura del cerchio e lunule
Le cinque lunule quadrabili
Arbelo
Salinon
Pelecoide
Drepanoide
Dividere una circonferenza in n parti uguali
Il cerchio: figura perfetta
Il problema di Didone
Formule
Raggi dei cerchi ex-inscritti
Circonferenza dei nove punti o circonferenza di Feuerbach
Cerchio, angoli e radianti
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Circonferenza dei nove punti
In un triangolo acutangolo, i punti medi dei lati, i piedi delle altezze ed i punti medi dei segmenti che uniscono i vertici del triangolo con l'ortocentro, appartengono tutti ad una stessa circonferenza, detta circonferenza dei nove punti o circonferenza di Feuerbach il cui centro è il punto medio del segmento che unisce l'ortocentro e il circocentro del triangolo.
Curiosità sulla circonferenza dei nove punti:
Il raggio della circonferenza dei nove punti è la metà del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.
La circonferenza dei nove punti è tangente internamente alla circonferenza inscritta nel triangolo e tangente esternamente alle tre circonferenze ex-inscritti al triangolo.
Con particolari triangoli acutangoli isosceli la circonferenza di Feuerbach permette di costruire con riga e compasso alcuni poligoni regolari. Ad esempio:
Costruzione di un ottagono regolare.
Si traccia un triangolo isoscele con l'angolo al vertice di 45°, cioè uguale a quello dell'angolo al centro che sottende il lato dell'ottagono regolare. La circonferenza di Feuerbach passa per 8 punti (il punto medio della base del triangolo e il piede dell'altezza relativa alla base coincidono), tali punti determinano l'ottagono regolare.
Costruzione di un esagono regolare.
Si traccia un triangolo isoscele con l'angolo al vertice di 60°, cioè uguale a quello dell'angolo al centro che sottende il lato dell'esagono regolare. La circonferenza di Feuerbach passa per 6 punti (i piedi delle altezze ed i punti medi dei lati relativi sono coincidenti), tali punti determinano l'esagono regolare.
Costruzione di un pentagono regolare.
Si traccia un triangolo isoscele con l'angolo al vertice di 72°, cioè uguale a quello dell'angolo al centro che sottende il lato del pentagono regolare. Cinque punti della circonferenza di Feuerbach determinano un pentagono regolare con tre vertici sui lati del triangolo.
Costruzione di decagono regolare e di un pentagono regolare.
Si traccia un triangolo isoscele con l'angolo al vertice di 36°, cioè uguale a quello dell'angolo al centro che sottende il lato del decagono regolare. La circonferenza di Feuerbach determina un pentagono regolare coi cinque vertici sui lati del triangolo.
E aggiungendo due punti bisecando due archi si determina un decagono regolare:
