Cosa devi sapere sul cerchio e circonferenza

Circonferenza inscritta in un triangolo

Se una circonferenza è tangente ad entrambi i lati di un angolo, ha necessariamente il centro sulla bisettrice dell'angolo.

Nella figura i centri delle circonferenze si trovano sulla bisettrice dell'angolo. I raggi OH e OH' rappresentano le distanze (uguali) del centro O dai due lati dell'angolo. Consideriamo ora un triangolo qualsiasi ABC. Ci chiediamo: esiste una circonferenza interna al triangolo che sia tangente ai tre lati? Se una tale circonferenza esiste dovrà avere il centro sulle tre bisettrici del triangolo perchè la circonferenza deve essere tangente ai lati dei tre angoli. Ma noi sappiamo che le tre bisettrici di un triangolo si incontrano in un punto comune, l'incentro. Si può allora verificare facilmente che la circonferenza cercata è proprio quella che ha il centro nell'incentro O del triangolo e il raggio uguale alla distanza OH dell'incentro da uno dei tre lati.

Diremo che la circonferenza è inscritta nel triangolo oppure che il triangolo è circoscritto alla circonferenza. In generale: Un triangolo è sempre circoscrittibile a una circonferenza. Il centro della circonferenza inscritta è l'incentro del triangolo.

Anche questa è una caratteristica dei triangoli: non è vero infatti che qualsiasi poligono sia circoscrittibile a una circonferenza. Anzi è vero il contrario: in generale un poligono non è circoscrittibile a una circonferenza. Consideriamo ad esempio il rettangolo in figura:

Le quattro bisettrici non passano per uno stesso punto. Non esiste quindi una circonferenza tangente ai quattro lati del rettangolo