Cosa devi sapere sul cerchio e circonferenza

Lunghezza della circonferenza

Come ben sai, il perimetro di un poligono esprime la lunghezza del contorno del poligono e si determina sommando le lunghezze dei lati. La circonferenza esprime la lunghezza del contorno del cerchio e quindi rappresenta il perimetro del cerchio. In questo caso però c'è un problema: una circonferenza non ha lati e quindi come possiamo determinarla?

Tutti i cerchi hanno la stessa forma, cioè tutti i cerchi sono simili tra loro e quindi se consideriamo due cerchi qualsiasi come quelli in figura:

siamo certi che la lunghezza c della prima circonferenza sta al proprio diametro d come la lunghezza c' della seconda circonferenza sta al proprio diametro d' e quindi possiamo scrivere la proporzione:

c : d = c' : d'

Il rapporto c/d è dunque un rapporto costante che non cambia da circonferenza a circonferenza:

c : d = costante

Del resto, qualcosa di analogo accade anche per i quadrati che sono tutti simili.

E il rapporto tra perimetro p e diagonale d è costante:

p : d = costante

Il rapporto costante tra la lunghezza di una circonferenza e il proprio diametro viene indicato con la lettera greca Π (leggi pigreco):

Π = c : (2⋅r)

Quindi la lunghezza di una circonferenza di raggio r è data da:

c = Π⋅(2⋅r) = 2⋅Π⋅r

Nel caso dei quadrati è molto facile calcolare il rapporto costante tra perimetro e diagonale, non è altrettanto facile calcolare il rapporto costante Π tra la lunghezza di una circonferenza e il proprio diametro. Possiamo però vedere facilmente tra quali numeri interi è compreso. Consideriamo ora, una circonferenza di raggio r e il quadrato circoscritto

Il lato del quadrato è uguale a un diametro cioè è lungo 2⋅r e quindi il perimetro del quadrato è 8⋅r. Si capisce che il perimetro del quadrato è maggiore della lunghezza c della circonferenza.

8⋅r > c

e quindi, dividendo entrambi i membri della disuguaglianza per 2⋅r, si ha:

(8⋅r) : (2⋅r) > c : (2⋅r)

cioè:

4 > c : d = Π

Abbiamo dunque scoperto che Π è minore di 4. Consideriamo ora la stessa circonferenza e l'esagono regolare in essa inscritto.

Poichè l'esagono regolare è scomponibile in sei triangoli equilateri, il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato dell'esagono. Allora il perimetro dell'esagono è 6⋅r ed è certamente minore della lunghezza della circonferenza.

6⋅r < 2⋅Π⋅r

Ne segue, dividendo entrambi i membri della disuguaglianza per 2⋅r

3 < Π

Quindi Π è maggiore di 3. Tenendo conto anche dell'informazione precedente sappiamo ora che Π è compreso tra 3 e 4.

Esistono dei metodi per valutare delle migliori approssimazioni di Π il valore approssimato per difetto che spesso viene utilizzato è

3,14

Attenzione! 3,14 non è il valore esatto di Π, ma una sua approssimazione. In realtà Π è un numero irrazionale cioè un numero decimale illimitato non periodico. A titolo di curiosità ecco le prime 15 cifre decimali esatte di Π:

Π = 3, 141 592 653 589 793 …

Poichè Π è di poco maggiore di 3, ci rendiamo conto che la circonferenza rettificata cioè “aperta” e “distesa” facendola diventare un segmento è di poco maggiore al triplo del diametro.

In conclusione:

La lunghezza di una circonferenza di raggio r è data da:

c = 2⋅Π⋅r

o, equivalentemente, poichè il diametro d è uguale a 2⋅r

c = Π⋅d

dove Π indica una costante (una approssimazione per difetto di Π è 3,14). Se conosciamo la lunghezza c di una circonferenza si ha

r = c : (2⋅Π)