Cosa devi sapere sul cerchio e circonferenza

Angoli al centro e angoli alla circonferenza

Ogni angolo (convesso) con il vertice sulla circonferenza e i lati entrambi secanti oppure uno secante e l'altro tangente viene detto angolo alla circonferenza.

Si dice anche che un angolo alla circonferenza insiste sull'arco corrispondente o sottende l'arco corrispondente. Su uno stesso arco possono insistere infiniti angoli alla circonferenza. Ad esempio, in figura gli angoli BAC, BA'C e BA"C individuano tutti lo stesso arco con estremi B e C (in rosso): diremo che insistono sullo stesso arco.

Ogni angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza e ha per lati due semirette che contengono due raggi viene detto angolo al centro.

A ogni angolo al centro corrisponde un solo arco su cui insiste e viceversa. Vediamo ora alcune proprietà degli angoli al centro e degli angoli alla circonferenza:

• Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
  
  Consideriamo l'angolo alla circonferenza e il corrispondente angolo al centro (i due angoli insistono sullo stesso arco AB).

  

  Dalla figura si intuisce che tra i due angoli c'è una stretta relazione: se diminuisce uno diminuisce anche l'altro, se aumenta uno aumenta anche l'altro. Per comprendere quale relazione esiste tra i due angoli ragioniamo su una situazione particolare in cui uno dei lati dell'angolo alla circonferenza sia un diametro.

  

  In questa situazione il triangolo PBO è isoscele (due lati sono raggi). Quindi l'angolo in B è uguale all'angolo in P. Ora l'angolo AOB, che è un angolo esterno del triangolo PBO, è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti ed è dunque uguale al doppio dell'angolo in P. Questa proprietà che abbiamo verificato in un caso particolare, è vera in generale.

• Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali.
  
  Consideriamo i tre angoli alla circonferenza con vertice rispettivamente in P, P’, P” che insistono sullo stesso arco AB.

  

  Essendo tutti uguali alla metà del corrispondente angolo al centro che è unico, sono tutti uguali tra loro.

• Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è un angolo retto.
  
  Consideriamo l'angolo alla circonferenza APB che insiste su una semicirconferenza.

  

  Poichè il corrispondente angolo al centro AOB è un angolo piatto, APB deve essere necessariamente retto. Da ciò deriva che se un triangolo ha un vertice A su una circonferenza e gli altri due vertici sono gli estremi di un diametro allora il triangolo è rettangolo in A.

• La mediana relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo è lunga la metà dell'ipotenusa; se, viceversa, un triangolo ha una mediana lunga la metà di un lato allora il triangolo è rettangolo e ha quel lato come ipotenusa..
  
  Consideriamo l'angolo alla circonferenza BAC che insiste su una semicirconferenza.

  

  Inscrivendo il triangolo rettangolo in una semicirconferenza si ha infatti

  OB = OA = OC.