Cosa devi sapere sul cerchio e circonferenza

Formule

Vediamo quali relazioni esistono tra gli elemeni di un poligono e il raggio della circonferenza inscritta o circoscritta al poligono.

• Poligoni circoscritti a una circonferenza di centro O e raggio r.

  • Poligono generico.
    
    Consideriamo un generico poligono ABCDE circoscritto a una circonferenza di centro O e raggio r e supponiamo che siano a, b, c, d, e le lunghezze dei lati del poligono. Congiungendo il centro O con tutti i vertici del poligono questo viene scomposto in tanti triangoli quanti sono i suoi lati:

    

    Tutti questi triangoli hanno la stessa altezza che è il raggio r che viene detto apotema del poligono e in generale indicato con il simbolo a. Pertanto l'area del poligono è dato dalla somma delle aree dei triangoli.

    

    dove p è il semiperimetro del poligono. In generale:
    
    L'area di un qualsiasi poligono circoscritto a una circonferenza di centro O e raggio r è data dal prodotto del suo semiperimetro per il raggio r.
    
    Ne segue che il raggio r della circonferenza inscritta in un poligono è uguale al rapporto tra l'area e il semiperimetro del poligono.

    

  • Poligono regolare.

    Se il poligono è regolare con n lati ognuno lungo l_n la sua area è data da:

    

    Nei poligoni regolari il rapporto tra l'apotema e il lato è un valore costante che non cambia al variare delle dimensioni del poligono. In genere tale rapporto costante è chiamato numero fisso e indicato con la lettera f. Ecco la tabella dei rapporti costanti a:l (i valori sono approssimati) di alcuni poligoni regolari:

    

  • Triangolo rettangolo.

    Consideriamo un triangolo rettangolo circoscritto a una circonferenza di raggio r e supponiamo che siano a, b, c le rispettive lunghezze dei cateti e dell'ipotenusa.

    

    E vediamo quali relazioni ci sono tra il raggio della circonferenza inscritta e i lati del triangolo. Dalla seguente figura:

    

    Possiamo scrivere

    2p = 2r + 2(a - r) + 2(b - r)

    e dividendo entrambi i membri per 2 e sostituendo (a-r)+(b-r) con c si ottiene

    p = r + (a - r) + (b - r) = r + c

    da cui

    r = p - c

    Oppure

    

• Poligoni inscritti in una circonferenza di centro O e raggio R.

  • Triangolo generico inscritto in una circonferenza:
    
    Consideriamo un generico triangolo ABC inscritto in una circonferenza di centro O e raggio R e supponiamo che siano a, b, c le lunghezze dei lati del triangolo. Tracciamo il diametro AD, l'altezza AH=h relativa al lato BC e la corda DC.

    

    I due triangoli ABD e AHC sono rettangoli e simili avendo gli angoli acuti ADC e ACH uguali perchè insistono sullo stesso arco. Pertanto vale la proporzione:

    AC : AH = AD : AB

    Cioè

    c : h = 2R : a

    da cui

    2Rh = ac

    Essendo h = 2A/b sostituendo si ottiene

    

    da cui si ottiene:

    

  • Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio R e circoscritto a una circonferenza di raggio r:
    
    Consideriamo un triangolo equilatero ABC di lato l inscritto in una circonferenza di centro O e raggio R e circoscritto a una circonferenza di centro O e raggio r.

    

    Il triangolo rettangolo OHC ha gli angoli acuti di 30° e 60° e quindi OC=2OH cioè

    R = 2r

    Il triangolo AOC è isoscele e quindi AO=OC ne segue:

    h = R + r = 3r

    e

    

    Essendo

    

    Ne segue

    

    L'area del triangolo in funzione di R oppure in funzione di r è quindi

    

  • Poligono regolare inscritto in una circonferenza di raggio R.
    
    Esprimendo la misura del lato e la misura dell'apotema del poligono regolare in funzione del raggio R della circonferenza ciscoscritta possiamo poi esprimere l'area del poligono regolare in funzione di R applicando la regola:
    
    L'area di un poligono regolare inscritto in una circonferenza di raggio R è data dal prodotto del suo perimetro per il raggio R diviso due.
    
    Ad esempio, nel triangolo equilatero, (come abbiamo già visto), si ha:

    

    Nel quadrato si ha:

    

    Ecco la tabella delle relazioni lato, apotema e area di alcuni poligoni regolari in funzione del raggio R della circonferenza circoscritta.