Cosa devi sapere sulla geometria nello spazio

Poliedri

I prismi, le piramidi e i tronchi di piramidi sono casi particolari di una più ampia famiglia di figure solide chiamate poliedri.

Chiameremo poliedro convesso, o semplicemente poliedro, la parte di spazio limitata da un certo numero di poligoni; i poligoni devono essere disposti in modo che

• siano a due a due non complanari;

• ogni lato sia comune a due e solo a due poligoni;

• il piano di ciascun poligono lasci tutti gli altri in uno stesso semispazio.

I poligoni, i loro lati e i loro vertici si chiamano rispettivamente facce, spigoli e vertici del poliedro. Si chiama superficie poliedrica l'insieme unione delle facce (cioè dei poligoni). La facce con uno spigolo in comune individuano i diedri del poliedro e la facce con un vertice in comune individuano gli angoloidi del poliedro. Un poliedro ha tanti angoloidi quanti sono i vertici e tanti diedri quanto sono gli spigoli.

Ad esempio, il solido in figura è un poliedro convesso

chiamato cubottaedro. Infatti, sono verificate le tre condizioni presenti nella definizione di poliedro; ha 14 facce (8 facce sono triangoli equilateri e 6 facce sono quadrati), 12 vertici, 24 spigoli, 12 angoloidi e 24 diedri. Ogni vertice è comune a due quadrati e a due triangoli equilateri e quindi gli angoloidi misurano 300° (90°+90°+60°+60°).

Invece, il solido in figura non è un poliedro convesso; è un poliedro concavo.

Viene infatti a cadere la terza condizione: il piano che contiene la faccia 1 non lascia tutte le altre facce in uno stesso semispazio (analogamente per la faccia 2), sono però verificate le prime due condizioni.

Due poliedri sono congruenti se hanno facce corrispondenti congruenti ed angoloidi corrispondenti congruenti. In modo del tutto equivalente, potremmo dire che due poliedri sono congruenti se esiste un'isometria che trasformi l'uno nell'altro. Ad esempio le due piramidi

simmetriche rispetto ad un piano, sono congruenti. E' chiaro infatti che tutti gli elementi corrispondenti: spigoli, angoli, facce, diedri, angoloidi sono congruenti. Ad esempio la faccia ABD è congruente alla faccia corrispondente A'B'D'.